Comet OJ - Contest #11 F arewell（FWT + 狀態壓縮）

大致題意

做法

考慮到n的大小隻有20，所以應該和狀態壓縮或者說集合按位表示有關。

因此，我們考慮用$F_S$表示考慮的點的狀態爲$S$的情況下，所有可能的$DAG$的方案數。

考慮每一個狀態的轉移，容斥一下可以得到如下轉移方程：
$F_S=\sum_{T \subset S}(-1)^{|S-T|}F_T2^{|E_{T,S-T}|}$
其中$E_{S,T}$表示$S$和$T$之間的邊。

考慮到$E_{T,S-T}=E_S-E_T-E_{S-T}$，我們在等式兩邊同時除以$E_S$，可以有：
$\frac{F_S}{2^{|E_S|}}=\sum_{T \subset S}(-1)^{|S-T|}\frac{1}{2^{|E_{S-T}|}}*\frac{F_T}{2^{|E_T|}}$
很開心的發現，這已經變成了一個子集卷積的形式，於是我們就可以用FMT或者FWT去快速計算了。

具體來說，考慮用二進制的形式表示集合，我們令$g[i][mask_i]=(-1)^{i}2^{-t}$，$f[i][mask_i]=F_{mask_i}*2^{-t}$，其中$t$表示$mask_i$內部的連邊條數。總的轉移方程可以寫成：
$f[i][mask_i]=\sum_{j=1,mask_j\subset mask_i}^{i}f[j][mask_j]*g[i-j][mask_i\oplus mask_j]$
直接FWT即可，時間複雜度$O(n^22^n)$

代碼

#include<bits/stdc++.h>
#define fi first
#define se second
#define LL long long
#define pb push_back
#define INF 0x3f3f3f3f
#define sc(x) scanf("%d",&x)
#define scc(x,y) scanf("%d%d",&x,&y)
#define sccc(x,y,z) scanf("%d%d%d",&x,&y,&z)

using namespace std;

const int N=25;
const int M=1048580;
const int mod=998244353;
const int inv2 = (mod + 1) / 2;

int n,m,cnt[M],tot[M],bin[N*N],inv[N*N],f[N][M],g[N][M],ma[N];

int lg(int x) {return std::lower_bound(bin,bin+n,x)-bin;}

int qpow(int x,int y)
{
	int ans=1;
	while (y)
	{
		if (y&1) ans=(LL)ans*x%mod;
		x=(LL)x*x%mod;y>>=1;
	}
	return ans;
}

void FWT_xor(int *a,int opt)
{
    for(int i=1;i<bin[n];i<<=1)
        for(int p=i<<1,j=0;j<bin[n];j+=p)
            for(int k=0;k<i;++k)
            {
                int X=a[j+k],Y=a[i+j+k];
                a[j+k]=(X+Y)%mod;a[i+j+k]=(X+mod-Y)%mod;
                if(opt==-1)a[j+k]=1ll*a[j+k]*inv2%mod,a[i+j+k]=1ll*a[i+j+k]*inv2%mod;
            }
}


int main()
{
	scc(n,m);
	bin[0]=inv[0]=1;
	for (int i=1;i<=max(n,m);i++) bin[i]=bin[i-1]*2%mod,inv[i]=qpow(bin[i],mod-2);
	for (int i=1;i<=m;i++)
	{
		int x,y;scc(x,y);
		ma[x]|=bin[y-1];ma[y]|=bin[x-1];
	}
	for (int i=1;i<bin[n];i++) cnt[i]=cnt[i-(i&(-i))]+1,tot[i]=tot[i-(i&(-i))]+cnt[ma[lg(i&(-i))+1]&i];
	for (int i=0;i<bin[n];i++) g[cnt[i]][i]=(cnt[i]&1)?inv[tot[i]]:mod-inv[tot[i]];
	for (int i=0;i<=n;i++) FWT_xor(g[i],1);
	f[0][0]=1;
	FWT_xor(f[0],1);
	for (int i=0;i<=n;i++)
	{
		for (int j=1;j<=n-i;j++)
			for (int k=0;k<bin[n];k++)
				(f[i+j][k]+=(LL)f[i][k]*g[j][k]%mod)%=mod;
	}
	FWT_xor(f[n],-1);
	printf("%d\n",(LL)f[n][bin[n]-1]*qpow(2*qpow(3,mod-2),m)%mod);
	return 0;
}