【CodeForces468】C. Hack it!（構造）

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題解：

由於我校模擬考的時候 $l,r,a$ 的限制爲 1e16，所以這裏講一種把 $l,r$ 往小了放的方法。

首先問題轉化爲找到兩個前綴使得答案 $\%a$ 相等，根據抽屜原理問題一定有解。

容易注意到 $f(x+y)=f(x)+f(y)$ 當且僅當 $x+y$ 沒有進位。

容易想到把其中一個後面若干位設置成 $0$，這樣可以任意放。

那麼考慮求出 $\sum_{i=0}^{10^k-1}f(i)\equiv p\pmod a$。

對於 $x < 9\times10^k,f(x+10^k)=f(x)+1$，於是不難發現，當 $a-p\leq 9ek$ 的時候，$\sum_{i=a-p}^{10^k+a-p-1}f(i)\equiv 0\pmod a$。

該做法在 $a\leq 9\times 10^k$ 的時候必然出解。

當然還可以枚舉上標爲 $t\times10^k$，則 $a-p\leq (10-t)\times 10^k$ 的時候可以找到一組解，不過原題限制很寬鬆，你甚至可以直接考慮 $k=18$。

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代碼：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define re register
#define cs const

using std::cerr;
using std::cout;

ll a;

ll pw[20];

void Main(){
	std::cin>>a;
	for(int re i=pw[0]=1;i<=18;++i)
		pw[i]=pw[i-1]*10;
	for(int re k=1;k<=18;++k){
		ll p=pw[k-1]%a*k%a*45%a;
		ll l=a-p,r=pw[k]+a-p-1;
		if(l>=0&&l/9<=pw[k]){
			cout<<l<<" "<<r<<"\n";
			return ;
		}
	}cout<<"fuck\n";
}

inline void file(){
#ifdef zxyoi
	freopen("hack.in","r",stdin);
#else
#ifndef ONLINE_JUDGE
	freopen("hack.in","r",stdin);
	freopen("hack.out","w",stdout);
#endif
#endif
}signed main(){file();Main();return 0;}