數據結構 —— 算法的時間複雜度

一、非遞歸情況

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二、遞歸情況（迭代法）

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迭代法的基本步驟是先將遞歸算法簡化爲相應的遞歸方程，然後通過重複迭代，將遞歸方程的右端變換成一個級數，最後求級數的和，再預計和的漸進階。

示例1：

算法的遞歸方程爲：

• T(n) = T(n - 1) + O(1)

請給出該算法的時間複雜度

迭代展開：

T(n) = T(n - 1) + O(1) 
	 = T(n - 2) + O(1) + O(1) 
     = T(n - 3) + O(1) + O(1) + O(1) 
     = ...... 
     = O(1) + ... + O(1) + O(1) + O(1) 
     = n * O(1) 
     = O(n) 

示例2：

算法的遞歸方程爲：

• T(n) = 1，n=1
• T(n) = 2T(n/2)+n，n>1

請給出該算法的時間複雜度

設 n=2^m，則

T(n) = T(2^m)
	 = 2T(2^(m-1))+2^m
	 = 2[2T(2^(m-2))+2^(m-1)]+2^m
	 = .......
	 = 2^m*T(1)+m*2^m
	 = (m+1)*2^m
	 = (log2n+1)*n
	 = O(nlog2n)