電磁波-麥克斯韋方程

麥克斯韋方程

我們從麥克斯韋方程的微分形式開始。

$\large \triangledown \cdot \mathbf{E}=0 \; (Gauss)$ $\large \triangledown \times \textbf{E}=-\frac{\partial \textbf{B}}{\partial t}\,\, (Faraday)$

$\large \triangledown \cdot \mathbf{B}=0 \; (no\, name)$ $\large \triangledown \times \textbf{B}=\mu _{0}\varepsilon _{0}\frac{\partial \textbf{E}}{\partial t}\, (Ampere)$

這些方程是一階的，這意味着它們很簡單（好棒），但它們也是耦合的（糟糕）。我們用一些技巧來分解它們。取法拉第定律和安培定律的旋度，且每個方程的左邊可用一個特殊的恆等式表示旋度的旋度，而方程的右邊是旋度關於時間的導數。我們將它們再變成旋度關於時間的導數。

$\large \triangledown \times \textbf{E}=-\frac{\partial \textbf{B}}{\partial t}$ $\large \triangledown \times \mathbf{B}=\mu _{0}\varepsilon _{0}\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$

$\large \triangledown \times\left ( \triangledown \times\textbf{E} \right )=\triangledown \times\left (-\frac{\partial \textbf{B}}{\partial t} \right )$ $\large \triangledown \times \left ( \triangledown \times \mathbf{B} \right )=\triangledown \times \left ( \mu _{0} \varepsilon _{0}\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\right )$

$\large \triangledown \left ( \triangledown \cdot \mathbf{E} \right )-\triangledown ^{2}\mathbf{E}=-\frac{\partial }{\partial t}\left ( \triangledown \times \mathbf{B} \right )$ $\large \triangledown \left ( \triangledown \cdot \mathbf{B} \right )-\triangledown ^{2}\mathbf{B}=\mu _{0}\varepsilon _{0}\frac{\partial }{\partial t}\left ( \triangledown \times \mathbf{E} \right )$

現在如果你認真看，你將發現最後一個式子最左邊一項等於0，而等式右邊又可以進行對時間的求導。

$\large 0-\triangledown ^{2}\mathbf{E}=-\frac{\partial }{\partial t}\left (\mu _{0}\varepsilon _{0}\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\right )$ $\large 0-\triangledown ^{2}\mathbf{B}=\mu _{0}\varepsilon _{0}\frac{\partial }{\partial t}\left (-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\right )$

讓我們整理一下然後看看我們得到了什麼。

$\large \triangledown ^{2}\mathbf{E}=\mu _{0}\varepsilon _{0}\frac{\partial ^{2}}{\partial t^{2}}\mathbf{E}$ $\large \triangledown ^{2}\mathbf{B}=\mu _{0}\varepsilon _{0}\frac{\partial ^{2}}{\partial t^{2}}\mathbf{B}$

我們把 $\mathbf{E}$ 和 $\mathbf{B}$ 進行了分離（ $\mathbf{E}$ 和 $\mathbf{B}$ 屬於它們各自的方程），這簡化了方程，但在這個過程中把它們從一階變成了二階（注意所有的平方）。我說過低階意味着更容易處理，但這些二階方程看起來並不是那麼難。提高階數沒有使事情變複雜，反而變得更加有趣。

這裏假設了一組方程。

$\large \mathbf{E}\left ( x,t \right )=E_{0}sin\left [ 2\pi \left ( ft-\frac{x}{\lambda }+\varphi \right ) \right ]\hat{j}$ $\large \mathbf{B}\left ( x,t \right )=B_{0}sin\left [ 2\pi \left ( ft-\frac{x}{\lambda }+\varphi \right ) \right ]\hat{k}$

這個特殊的例子是一維的，但也有很多相似的二維的例子。有趣的是，它們包括了以有限的速度傳播而隨時間變化的電場和磁場，這樣的情況就是電磁波。

讓我們更詳細地研究下可能的情況，求出在二維空間下電場的二階導數：

$\large \triangledown ^{2}\mathbf{E}=-\frac{4\pi ^{2}}{\lambda ^{2}}E_{0}sin\left [ 2\pi \left ( ft-\frac{x}{\lambda }+\varphi \right ) \right ]\hat{j}$

$\large \frac{\partial ^{2}}{\partial t^{2}}\mathbf{E}=-4\pi ^{2}f^{2}E_{0}sin\left [ 2\pi \left ( ft-\frac{x}{\lambda }+\varphi \right ) \right ]\hat{j}$

然後把它們代入下面的二階偏微分方程。

$\large \triangledown ^{2}\mathbf{E}=\mu _{0}\varepsilon _{0}\frac{\partial ^{2}}{\partial t^{2}}\mathbf{E}$

左邊：

$\large \triangledown ^{2}\mathbf{E}=-\frac{4\pi ^{2}}{\lambda ^{2}}E_{0}sin\left [ 2\pi \left ( ft-\frac{x}{\lambda }+\varphi \right ) \right ]\hat{j}$

右邊：

$\large \mu _{0}\varepsilon _{0}\frac{\partial ^{2}}{\partial t^{2}}\mathbf{E}=\mu _{0}\varepsilon _{0}\left \{ -4\pi ^{2}f^{2} E_{0}sin\left [ 2\pi \left ( ft-\frac{x}{\lambda }+\varphi \right ) \right ]\right \}\hat{j}$