斐波那契數列算法分析--遞歸、非遞歸和公式法

類似問題有：

1、排列組合

有一段樓梯有10級臺階，規定每一步只能跨一級或兩級，要登上第10級臺階有幾種不同的走法?

這就是一個斐波那契數列：登上第一級臺階有一種登法；登上兩級臺階，有兩種登法；登上三級臺階，有三種登法；登上四級臺階，有五種登法……

1，2，3，5，8，13……所以，登上十級，有89種走法。

2、一枚均勻的硬幣擲10次，問不連續出現正面的可能情形有多少種？

答案是（1/√5)*{[(1+√5)/2]^(10+2) - [(1-√5)/2]^(10+2)}=144種。

3、兔子繁殖問題

一般而言，兔子在出生兩個月後，就有繁殖能力，一對兔子每個月能生出一對小兔子來。如果所有兔子都不死，那麼一年以後可以繁殖多少對兔子？

//遞歸
long fib1(int n){
	if (n <= 2){
        	return 1;
        }else{
                return fib1(n-1) + fib1(n-2);
       }
}

//非遞歸方法O(n)
long fib3 (int n){
       long x = 0, y = 1;
       for (int j = 1; j < n; j++){
              y = x + y;
              x = y - x;
       }
       return y;
}

//公式法O(1)
long fib5(int n){
       double z = sqrt(5.0);
       double x = (1 + z)/2;
       double y = (1 - z)/2;
       return (pow(x, n) - pow(y, n))/z + 0.5;
}