隨機過程及應用

二階矩過程

二階矩過程的均值函數和協方差函數爲什麼必定存在？

證明是通過利用柯西-施瓦茲不等式證明的，該公式的正確形式是什麼樣的？
絕對值符號是在期望號的外面還是裏面？

因此，二階矩過程的均值函數，自協方差函數，方差函數，自相關函數都是存在的。
只有這些數字特徵存在，才便於進行研究，如果不是個二階矩過程，就不能保證該隨機過程的數字特徵存在，那我們就不好進行數字特徵方面的研究了。

利用特徵函數求解隨機過程的N階矩

$E(X^k(t)) = j^{-k}\varphi^{(-k)}(0)$

應用實例：

1. 維納過程的四階矩的計算
2. 複合泊松過程的期望和方差的計算

隨機變量函數的概率密度求解

可將以上過程擴展至任意的隨機變量函數

只有n維的隨機變量，沒有n維的隨機過程，但可以有隨機過程的任意n維分佈，即對給定隨機過程$\left\{ {X(t),t\in T} \right\}$,有任意n個時刻$$t_1, t_2, ...,t_n \in T$, 隨機向量 $X_{t_1},X_{t_2}, ..., X_{t_n}$的n維聯合分佈函數爲

$F_{t_1,t_2, ...,t_n}(x_1,x_2,...,x_n)=P \left\{ {X_{t_1} \le x_1, X_{t_1} \le x_1,..., X_{t_n} \le x_n} \right\}$

爲隨機過程$\left\{ {X(t),t\in T} \right\}$ 的有限維分佈函數。

計算概率分佈的問題

已知待求隨機變量的表達式，且該隨機變量依賴於其他的已知分佈的隨機變量，然後求該隨機變量的一維概率分佈或者多維概率分佈