查找
1.查找的基本概念
列表：由同一類型的數據元素組成的集合。
關鍵碼：數據元素中的某個數據項，可以標識列表中的一個或一組數據元素。
鍵值：關鍵碼的值。
主關鍵碼：可以唯一地標識一個記錄的關鍵碼。
次關鍵碼：不能唯一地標識一個記錄的關鍵碼。
查找 ：在具有相同類型的記錄構成的集合中找出滿足給定條件的記錄。
查找的結果 ：若在查找集合中找到了與給定值相匹配的記錄，則稱查找成功；否則，稱查找失敗。
靜態查找 ：不涉及插入和刪除操作的查找 。
動態查找 ：涉及插入和刪除操作的查找。
靜態查找適用於：查找集合一經生成，便只對其進行查找，而不進行插入和刪除操作; 或經過一段時間的查找之後，集中地進行插入和刪除等修改操作；
動態查找適用於：查找與插入和刪除操作在同一個階段進行，例如當查找成功時，要刪除查找到的記錄，當查找不成功時，要插入被查找的記錄。
查找結構 ：面向查找操作的數據結構 ，即查找基於的數據結構。
線性表：適用於靜態查找，主要採用順序查找技術、折半查找技術。
樹表：適用於動態查找，主要採用二叉排序樹的查找技術。
散列表：靜態查找和動態查找均適用，主要採用散列技術。
2.順序查找 （線性查找）
基本思想：
從線性表的一端向另一端逐個將關鍵碼與給定值進行比較，
若相等，則查找成功，給出該記錄在表中的位置；
若整個表檢測完仍未找到與給定值相等的關鍵碼，則查找失敗，給出失敗信息。
int LineSearch :: SeqSearch(int k)
{
i=n;
while (i>0 && data[i]!=k)
i--;
return i;
}
3.順序查找有哨兵
基本思想：設置“哨兵”。
哨兵就是待查值，
將哨兵放在查找方向的盡頭處，
免去了在查找過程中每一次比較後都要判斷查找位置是否越界，從而提高查找速度。
4.順序查找的優點：
算法簡單而且使用面廣。
對錶中記錄的存儲結構沒有任何要求，順序存儲和鏈接存儲均可；
對錶中記錄的有序性也沒有要求，無論記錄是否按關鍵碼有序均可。
5.順序查找的缺點：
平均查找長度較大，特別是當待查找集合中元素較多時，查找效率較低
6.折半查找
適用條件：
線性表中的記錄必須按關鍵碼有序；
必須採用順序存儲。
基本思想：
在有序表中（low, high,low<=high），
取中間記錄作爲比較對象，
若給定值與中間記錄的關鍵碼相等，則查找成功；
若給定值小於中間記錄的關鍵碼，則在中間記錄的左半區繼續查找；
若給定值大於中間記錄的關鍵碼，則在中間記錄的右半區繼續查找。
不斷重複上述過程，直到查找成功，或所查找的區域無記錄，查找失敗。
折半查找判定樹
判定樹：折半查找的過程可以用二叉樹來描述，
樹中的每個結點對應有序表中的一個記錄，
結點的值爲該記錄在表中的位置。
通常稱這個描述折半查找過程的二叉樹爲折半查找判定樹，簡稱判定樹。
⑴ 當n=0時，折半查找判定樹爲空；
⑵ 當n＞0時，
折半查找判定樹的根結點爲mid=(n+1)/2，
根結點的左子樹是與有序表r[1] ~ r[mid-1]相對應的折半查找判定樹，
根結點的右子樹是與r[mid+1] ~ r[n]相對應的折半查找判定樹。
判定樹的特點
任意兩棵折半查找判定樹，若它們的結點個數相同，則它們的結構完全相同
具有n個結點的折半查找樹的高度爲
判定樹的性質
任意結點的左右子樹中結點個數最多相差1
任意結點的左右子樹的高度最多相差1
任意兩個葉子所處的層次最多相差1
折半查找性能分析
具有n個結點的折半查找判定樹的深度爲
查找成功：在表中查找任一記錄的過程，即是折半查找判定樹中從根結點到該記錄結點的路徑，和給定值的比較次數等於該記錄結點在樹中的層數。
查找不成功：
查找失敗的過程就是走了一條從根結點到外部結點的路徑，
和給定值進行的關鍵碼的比較次數等於該路徑上內部結點的個數（失敗情況下的平均查找長度等於樹的高度）。
線性表查找的特點
線性表查找是靜態的查找，要在線性表上進行動態查找，存在以下的問題
無序順序表上進行動態查找，插入操作簡單，但查找的複雜性高
有序順序表上進行動態查找，查找的時間複雜性好，但是插入操作時間複雜性高
單鏈表上進行動態查找，插入操作簡單，但查找操作複雜性高
解決辦法：
採用二叉樹這種數據結構，實現動態查找
二叉排序樹（Binary Search Tree）
二叉排序樹（也稱二叉查找樹）：或者是一棵空的二叉樹，或者是具有下列性質的二叉樹：
⑴若它的左子樹不空，則左子樹上所有結點的值均小於根結點的值；
⑵若它的右子樹不空，則右子樹上所有結點的值均大於根結點的值；
⑶ 它的左右子樹也都是二叉排序樹。
二叉排序樹的插入
分析：若二叉排序樹爲空樹，則新插入的結點爲新的根結點；否則，新插入的結點必爲一個新的葉子結點，其插入位置由查找過程得到。
若二叉排序樹爲空樹，則新插入的結點爲新的根結點；
否則，如果插入的值比根節點值大，則在右子樹中進行插入；否則，在左子樹中進行插入。
遞歸。
二叉排序樹的構造
從空的二叉排序樹開始，依次插入一個個結點 。
二叉排序樹的刪除
在二叉排序樹上刪除某個結點之後，仍然保持二叉排序樹的特性。
分三種情況討論：
被刪除的結點是葉子；
被刪除的結點只有左子樹或者只有右子樹；
被刪除的結點既有左子樹，也有右子樹。
二叉排序樹的刪除算法——僞代碼
若結點p是葉子，則直接刪除結點p；
2. 若結點p只有左子樹， 則只需重接p的左子樹；
若結點p只有右子樹， 則只需重接p的右子樹；
3. 若結點p的左右子樹均不空，則
3.1 查找結點p的右子樹上的最左下結點s及s雙親結點par；
3.2 將結點s數據域替換到被刪結點p的數據域；
3.3 若結點p的右孩子無左子樹，
則將s的右子樹接到par的右子樹上；
若結點p是葉子，則直接刪除結點p；
2. 若結點p只有左子樹，則只需重接p的左子樹；
若結點p只有右子樹，則只需重接p的右子樹；
3. 若結點p的左右子樹均不空，則
3.1 查找結點p的右子樹上的最左下結點s及s雙親結點par；
3.2 將結點s數據域替換到被刪結點p的數據域；
3.3 若結點p的右孩子無左子樹，
則將s的右子樹接到par的右子樹上；
否則，將s的右子樹接到結點par的左子樹上；
3.4 刪除結點s；
二叉排序樹的查找
在二叉排序樹中查找給定值k的過程是：
⑴ 若root是空樹，則查找失敗；
⑵ 若k＝root->data，則查找成功；否則
⑶ 若k＜root->data，則在root的左子樹上查找；否則
⑷ 在root的右子樹上查找。
上述過程一直持續到k被找到或者待查找的子樹爲空，如果待查找的子樹爲空，則查找失敗。
二叉排序樹的查找效率在於只需查找二個子樹之一。
平衡二叉樹（AVL樹）
平衡二叉樹：或者是一棵空的二叉排序樹，或者是具有下列性質的二叉排序樹：
⑴ 根結點的左子樹和右子樹的深度最多相差1;
⑵ 根結點的左子樹和右子樹也都是平衡二叉樹。
平衡因子：結點的平衡因子是該結點的左子樹的深度與右子樹的深度之差。
最小不平衡子樹：在平衡二叉樹的構造過程中，以距離插入結點最近的、且平衡因子的絕對值大於1的結點爲根的子樹。
基本思想：
在構造二叉排序樹的過程中，每插入一個結點時，首先檢查是否因插入而破壞了樹的平衡性，
若是，
則找出最小不平衡子樹，
在保持二叉排序樹特性的前提下，調整最小不平衡子樹中各結點之間的鏈接關係，進行相應的旋轉，使之成爲新的平衡子樹。
樹表的查找技術
B－樹
m階B－樹：是滿足下列特性的樹：
樹中每個結點至多有m棵子樹；
(2) 若根結點不是終端結點，則至少有兩棵子樹；
除根結點外，其他非終端結點至少有ém/2ù 棵子樹；
(4)所有非終端結點都包含以下數據：
（n，A0，K1，A1，K2，…，Kn，An）
n（ém/2ù -1≤n≤m -1）爲關鍵碼的個數；
Ki（1≤i≤n）爲關鍵碼，且Ki＜Ki+1（1≤i≤n-1）；
Ai（0≤i≤n）爲指向子樹根結點的指針，且指針Ai所指子樹中所有結點的關鍵碼均小於Ki+1大於Ki。
(5)所有葉子結點都在同一層上，B樹是高平衡的。
B-樹的插入
基本原理：
當一個節點中插入新的數據時，
會造成節點中數據個數大於(m-1)，
此時需要分裂節點，
將節點中第[m/2]+1個數據插入到當前節點的前驅中，
當前節點分裂爲兩個節點。
刪除小結： 在B-樹最下層節點中刪除一個關鍵字
當最下層結點中的關鍵字數大於ém/2ù -1 時，可直接刪除。
當最下層待刪關鍵字所在結點中關鍵字數目爲最低要求ém/2ù -1時，如果其左（右）兄弟中關鍵字數目大於ém/2ù -1，則可採用“父子換位法”。
當最下層待刪結點及其左右兄弟中的關鍵字數目均爲最低要求數目ém/2ù -1時，需要進行合併處理，合併過程與插入時的分裂過程“互逆”，合併一次， 分支數少一，可能出現 “連鎖合併”， 當合併到根時， 各分支深度同時減1。
在B-樹中刪除一個關鍵字-非最下層節點中刪除
基本原則：在保持有序性、平衡性的前提下，進行操作
B+樹的結構定義
m階B+樹的結構定義如下：
(1)每個結點至多有m個子結點；
(2)每個結點(除根外)至少有ceiling(m/2)個子結點；
(3)根結點至少有兩個子結點；
(4)有k個子結點的結點必有k個關鍵碼。
B+樹
m階B＋樹：是滿足下列特性的樹：
⑴ 含有m個關鍵碼，每一個關鍵碼對應一棵子樹。
⑵ 關鍵碼Ki是它所對應的子樹的根結點中的最大（或最小）關鍵碼。
⑶ 所有終端結點中包含了全部關鍵碼信息，以及指向關鍵碼記錄的指針。
⑷ 所有終端結點按關鍵碼的大小鏈在一起，形成單鏈表，並設置頭指針。
B+樹的查找
查找應該到葉結點層
在上層已找到待查的關鍵碼，並不停止
而是繼續沿指針向下一直查到葉結點層的這個關鍵碼
B+樹的葉結點一般鏈接起來，形成一個雙鏈表
適合順序檢索（範圍檢索）
B-樹和B+樹
特點
對於階數相同的兩棵樹，每個節點所包含的分支數的定義相同（不能少於m/2,不能多於m)
每個節點所包含的關鍵字的個數不同
B-樹中，關鍵字不重複出現；B+樹中，葉子節點存放所有的關鍵字，內部結點存儲着其後繼節點中最大的關鍵字
插入操作都會引起節點的分裂
刪除操作都會引起節點的合併
B-樹適用於隨機檢索；B+樹支持隨機和順序檢索
散列表（hash）的查找技術
散列函數的構造
直接定址法
除留餘數法
數字分析法
平方取中法
摺疊法（分段疊加法）
衝突處理方法
開放定址法
鏈地址法
建立公共溢出區
散列的基本思想：在記錄的存儲地址和它的關鍵碼之間建立一個確定的對應關係。這樣，不經過比較，一次讀取就能得到所查元素的查找方法。
散列表：採用散列技術將記錄存儲在一塊連續的存儲空間中，這塊連續的存儲空間稱爲散列表。
散列函數：將關鍵碼映射爲散列表中適當存儲位置的函數。
散列地址：由散列函數所得的存儲位置址 。
散列技術一般不適用於允許多個記錄有同樣關鍵碼的情況。
有衝突，降低了查找效率，體現不出計算式查找的優點
散列方法也不適用於範圍查找
不能查找最大值、最小值
也不可能找到在某一範圍內的記錄。
散列技術的關鍵問題：
⑴ 散列函數的設計。如何設計一個簡單、均勻、存儲利用率高的散列函數。
⑵ 衝突的處理。如何採取合適的處理衝突方法來解決衝突。
衝突：對於兩個不同關鍵碼ki≠kj，有H(ki)＝H(kj)，即兩個不同的記錄需要存放在同一個存儲位置,ki和kj相對於H稱做同義詞。
設計散列函數一般應遵循以下原則：
⑴ 計算簡單。散列函數不應該有很大的計算量，否則會降低查找效率。
⑵ 函數值即散列地址分佈均勻。函數值要儘量均勻散佈在地址空間，這樣才能保證存儲空間的有效利用並減少衝突
散列函數是關鍵碼的線性函數，即：
(key) = a ´ key + b （a，b爲常數）
散列函數爲：
H(key)=key mod p
散列函數——除留餘數法
一般情況下，選p爲小於或等於表長（最好接近表長）的最小素數
散列函數——數字分析法
根據關鍵碼在各個位上的分佈情況，選取分佈比較均勻的若干位組成散列地址。
適用情況：
事先知道關鍵碼的分佈，
關鍵碼的分佈均勻
散列函數——平方取中法
對關鍵碼平方後，按散列表大小，取中間的若干位作爲散列地址（平方後截取）。
適用情況：
事先不知道關鍵碼的分佈且關鍵碼的位數不是很大。
散列函數——摺疊法
將關鍵碼從左到右分割成位數相等的幾部分，將這幾部分疊加求和，取後幾位作爲散列地址。
關鍵碼位數很多，事先不知道關鍵碼的分佈。
處理衝突的方法——開放定址法
由關鍵碼得到的散列地址一旦產生了衝突，就去尋找下一個空的散列地址，並將記錄存入。
如何尋找下一個空的散列地址?
（1）線性探測法
（2）二次探測法
（3）隨機探測法
（4）再hash法
用開放定址法處理衝突得到的散列表叫閉散列表。
線性探測法
當發生衝突時，從衝突位置的下一個位置起，依次尋找空的散列地址。
對於鍵值key，設H(key)=d，閉散列表的長度爲m，則發生衝突時，尋找下一個散列地址的公式爲：
Hi=(H(key)＋di) % m （di=1，2，…，m-1）
二次探測法
當發生衝突時，尋找下一個散列地址的公式爲：
Hi=(H(key)＋di)% m
（di=12，－12，22，－22，…，q2，－q2且q≤m/2）
隨機探測法
當發生衝突時，下一個散列地址的位移量是一個隨機數列，即尋找下一個散列地址的公式爲：
Hi=(H(key)+di)% m
（di是一個隨機數列，i=1，2，……，m-1）
處理衝突的方法——拉鍊法（鏈地址法）
基本思想：將所有散列地址相同的記錄，即所有同義詞的記錄存儲在一個單鏈表中（稱爲同義詞子表），在散列表中存儲的是所有同義詞子表的頭指針。
用拉鍊法處理衝突構造的散列表叫做開散列表。
處理衝突的方法——公共溢出區
基本思想：
散列表包含基本表和溢出表兩部分（通常溢出表和基本表的大小相同），
將發生衝突的記錄存儲在溢出表中。
查找時，對給定值通過散列函數計算散列地址，先與基本表的相應單元進行比較，若相等，則查找成功；否則，再到溢出表中進行順序查找。