【數據結構與算法分析】證logX0成立

在《數據結構與算法分析：C++描述》中看到個證明題：

證logx<x 對所有x>0 成立。（在計算機科學中，默認所有的對數都是以2爲底的，除非另有說明）

採用賦值y、求導什麼的都不成功，最後看了答案，作者機智地用了歸納法和遞推，順便也複習了一下導數、對數方面的知識。還特意試了Markdown編輯器哈哈~

目錄

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證 logx小於x 對所有 x大於0 成立

因爲底數爲2，(logx)′=1xln2，x>0，ln2>0 ，所以logx 單調遞增。
1. 如果0<x≤1 ,
當x=1 時，logx=0<1 ，命題成立；
當0<x<1 時，由於logx單調遞增，所以logx<0 ，而x>0 ，命題成立；
2. 如果1<x≤2 ,
當x=2 時，logx=1<2 ，命題成立；
當1<x<2 時，由於logx單調遞增，所以logx<1 ，而x>1 ，命題成立；
3. 如果x>2 ,
現在假定對於正整數p（p≥1） ，對於p<x≤2p 命題成立，現在證明對於2p<y≤4p 命題也成立。
(其實就是要兩倍關係遞推，證明logy<y 在這種情況下成立)
logy=log(2y2)=log2(y2)=log2+log(y2)=1+log(y2)
因爲2p<y≤4p ，所以p<y2≤2p ，所以logy2<y/2 ，所以1+logy2<1+y2 ；
因爲p爲正整數，p≥1，而y>2p，所以y>2，所以y2 ≥1；
所以1+y2<y2+y2=y;
又logy<1+y2 ，所以logy<y 成立。

綜上，對於所有的x>0 ，logx>x 成立，命題得證。

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總結，常見對數

以上主要採用了歸納法和兩倍關係遞推，作者實在高明。對於個人而言，比較難想到的兩倍關係遞推和logy的拆分，主要要對logAB=logA+logB，log1=0，log2=1熟悉，下面記錄一下常見的對數公式；

• 基本定義：Xa=Y ，當且僅當logXY=a ；（在計算機科學中，默認所有的對數都是以2爲底的，除非另有聲明）
• logAB =(logcBlogcA) ， A, B, C>0, A≠1；
• logAB=logA+logB， A, B>0
• log(AB)=logA−logB
• logAB=BlogA
• logx<x 對所有 x>0 成立
• log1=0
• log2=1
• log1024=10
• log1048576=20

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導數概念及基本公式

• 導數：變化率
• 一個函數在某一點的導數描述了這個函數在這一點附近的變化率。導數的本質是通過極限的概念對函數進行局部的線性逼近。
• 單調性：如果函數的導函數在某一區間內恆大於0（或恆小於0），那麼函數在這一區間內單調遞增（或單調遞減），這種區間也稱爲函數的單調區間。
• 導函數等於0的點稱爲函數的駐點（或極值可疑點），在這類點上函數可能會取得最大值或最小值。

導數基本公式　

名稱	公式	典例
常數	c′=0
指數	(xa)′=axa−1	(x)′=1
對數	(logax)′=(1xlna)	(lnx)′=(1x)
正弦函數	(sinx)′=cosx
餘弦函數	(cosx)′=−sinx
加減複合函數	[u(x)+v(x)]′=u′(x)±v′(x)
乘法複合函數	[u(x)∗v(x)]′=u′(x)v(x)+u(x)v′(x)
除法複合函數	[u(x)v(x)]′=[u′(x)v(x)−u(x)v′(x)v2(x)]′ (v(x)≠0)

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參考鏈接：

[1]: 證明 logX < X 對所有 X > 0 成立.

[2]: 維基百科：導數

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第一次用markdown編輯器，感覺好好用~~：）——Dandelion_Miss