reference：https://blog.csdn.net/deramer1/article/details/79034201
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from pylab import mpl
"""
三次樣條實現：
函數的自變量x:3, 4.5, 7, 9
函數的因變量y:2.5, 10, 2.5, 10.5
"""
x = [3, 4.5, 7, 9, 13]
y = [2.5, 10, 2.5, 10.5, 2]
"""
功能：完後對三次樣條函數求解方程參數的輸入
參數：要進行三次樣條曲線計算的自變量
返回值：方程的參數
"""
def calculateEquationParameters(x):
'''
代解未知數爲a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2,a3,b3,c3,d3
:param x:
:return: parameter
'''
# parameter爲二維數組，用來存放參數，sizeOfInterval是用來存放區間的個數
parameter = []
n = len(x)
sizeOfInterval = n - 1 # 線段數
i = 1
# 首先輸入方程兩邊相鄰 節點 處函數值相等的方程爲2(n-2)=4個方程; n個點要減去兩個端點，然後乘以2
while i <= n-2:
# x[i]代入點i前一條線段的參數
data = np.zeros(sizeOfInterval * 4)
data[(i - 1) * 4] = x[i] * x[i] * x[i]
data[(i - 1) * 4 + 1] = x[i] * x[i]
data[(i - 1) * 4 + 2] = x[i]
data[(i - 1) * 4 + 3] = 1
# x[i]代入點i後一條線段的參數
data1 = np.zeros(sizeOfInterval * 4)
data1[i * 4] = x[i] * x[i] * x[i]
data1[i * 4 + 1] = x[i] * x[i]
data1[i * 4 + 2] = x[i]
data1[i * 4 + 3] = 1
parameter.append(data)
parameter.append(data1)
i += 1
# 輸入 端點 處的函數值。爲2個方程
data = np.zeros(sizeOfInterval * 4)
# 第一條線段
data[0] = x[0] * x[0] * x[0]
data[1] = x[0] * x[0]
data[2] = x[0]
data[3] = 1
parameter.append(data)
data = np.zeros(sizeOfInterval * 4)
# 最後一條線段
data[-4] = x[-1] * x[-1] * x[-1]
data[-3] = x[-1] * x[-1]
data[-2] = x[-1]
data[-1] = 1
parameter.append(data)
# 節點點函數一階導數值相等爲n-2=2個方程。
i = 1
while i <= n-2:
data = np.zeros(sizeOfInterval * 4)
data[(i - 1) * 4] = 3 * x[i] * x[i]
data[(i - 1) * 4 + 1] = 2 * x[i]
data[(i - 1) * 4 + 2] = 1
data[i * 4] = -3 * x[i] * x[i]
data[i * 4 + 1] = -2 * x[i]
data[i * 4 + 2] = -1
# temp = data[2:]
# parameter.append(temp)
parameter.append(data)
i += 1
# 節點函數二階導數值相等爲n-2=2個方程。且端點處的函數值的二階導數爲零，爲2個方程。
i = 1
while i <= n-2:
data = np.zeros(sizeOfInterval * 4)
data[(i - 1) * 4] = 6 * x[i]
data[(i - 1) * 4 + 1] = 2
data[i * 4] = -6 * x[i]
data[i * 4 + 1] = -2
# temp = data[2:]
# parameter.append(temp)
parameter.append(data)
i += 1
# 總共2(n-1)-2=10個方程
parameter = np.array(parameter)
return parameter[:, 2:] # 去掉前兩個a1,b1
"""
功能：計算樣條函數的係數。
參數：parametes爲方程的係數，y爲要插值函數的因變量。
返回值：三次插值函數的係數。
"""
def solutionOfEquation(parametes, y):
n = len(x)
sizeOfInterval = n - 1
result = np.zeros(sizeOfInterval * 4 - 2)
i = 1
# 節點處方程右邊
while i < sizeOfInterval: # result[0,1,2,3]
result[(i - 1) * 2] = y[i]
result[(i - 1) * 2 + 1] = y[i]
i += 1
# 起末端點處方程右邊
result[(sizeOfInterval - 1) * 2] = y[0]
result[(sizeOfInterval - 1) * 2 + 1] = y[-1]
a = np.array(parametes)
b = np.array(result)
return np.linalg.solve(a, b) # 解線性方程組
"""
功能：根據所給參數，計算三次函數的函數值：
參數:parameters爲二次函數的係數，x爲自變量
返回值：爲函數的因變量
"""
def calculate(paremeters, x):
result = []
for data_x in x:
y = paremeters[0] * data_x * data_x * data_x + paremeters[1] * data_x * data_x + paremeters[2] * data_x + paremeters[3]
result.append(y)
return result
"""
功能：採點
參數：x
返回值：採取點和採取點的函數值
"""
def grasp_sample(x):
n = len(x)
i = 1
# result 爲求解出來後的a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2,a3,b3,c3,d3
result = [0, 0]
temp = solutionOfEquation(calculateEquationParameters(x), y)
result.extend(temp)
samples_x = []
samples_y = []
# n-1段曲線
while i < n:
sample_x = np.arange(x[i-1], x[i], 0.01)
sample_y = calculate(result[(i-1)*4:i*4], sample_x)
samples_x.extend(sample_x)
samples_y.extend(sample_y)
i = i+1
samples_x.append(x[n-1])
samples_y.extend(calculate(result[-4:], [x[n-1]]))
return [samples_x, samples_y]
"""
功能：將函數繪製成圖像
參數：data_x,data_y爲離散的點.new_data_x,new_data_y爲由拉格朗日插值函數計算的值。x爲函數的預測值。
返回值：空
"""
def Draw(data_x, data_y, new_data_x, new_data_y):
plt.plot(new_data_x, new_data_y, label="擬合曲線", color="black")
plt.scatter(data_x, data_y, label="離散數據", color="red")
mpl.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
mpl.rcParams['axes.unicode_minus'] = False
plt.title("三次樣條函數")
plt.legend(loc="upper left")
plt.show()
samples = grasp_sample(x)
# print(samples[0])
# print(samples[1])
Draw(x, y, samples[0], samples[1])
樣本點：
運行結果圖
