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首先聲明：萬分感謝gty大哥的幫助！這年頭能找到簡單易懂的數組版平衡樹模板只能靠學長了！
變量聲明：f[i]表示i的父結點，ch[i][0]表示i的左兒子，ch[i][1]表示i的右兒子，key[i]表示i的關鍵字（即結點i代表的那個數字），cnt[i]表示i結點的關鍵字出現的次數（相當於權值），size[i]表示包括i的這個子樹的大小；sz爲整棵樹的大小，root爲整棵樹的根。
再介紹幾個基本操作：
【clear操作】：將當前點的各項值都清0（用於刪除之後）
- inline void clear(int x){
- ch[x][0]=ch[x][1]=f[x]=cnt[x]=key[x]=size[x]=0;
- }
【get操作】：判斷當前點是它父結點的左兒子還是右兒子
- inline int get(int x){
- return ch[f[x]][1]==x;
- }
- inline void update(int x){
- if (x){
- size[x]=cnt[x];
- if (ch[x][0]) size[x]+=size[ch[x][0]];
- if (ch[x][1]) size[x]+=size[ch[x][1]];
- }
- }
【rotate操作圖文詳解】
這是原來的樹，假設我們現在要將D結點rotate到它的父親的位置。
step 1：
找出D的父親結點（B）以及父親的父親（A）並記錄。判斷D是B的左結點還是右結點。
step 2：
我們知道要將Drotate到B的位置，二叉樹的大小關係不變的話，B就要成爲D的右結點了沒錯吧？
咦？可是D已經有右結點了，這樣不就衝突了嗎？怎麼解決這個衝突呢？
我們知道，D原來是B的左結點，那麼rotate過後B就一定沒有左結點了對吧，那麼正好，我們把G接到B的左結點去，並且這樣大小關係依然是不變的，就完美的解決了這個衝突。
這樣我們就完成了一次rotate，如果是右兒子的話同理。step 2的具體操作：
我們已經判斷了D是B的左兒子還是右兒子，設這個關係爲K；將D與K關係相反的兒子的父親記爲B與K關係相同的兒子（這裏即爲D的右兒子的父親記爲B的左兒子）；將D與K關係相反的兒子的父親即爲B（這裏即爲把G的父親記爲B）；將B的父親即爲D；將D與K關係相反的兒子記爲B（這裏即爲把D的右兒子記爲B）；將D的父親記爲A。
最後要判斷，如果A存在（即rotate到的位置不是根的話），要把A的兒子即爲D。
顯而易見，rotate之後所有牽涉到變化的父子關係都要改變。以上的樹需要改變四對父子關係，BG DG BD AB，需要三個操作（BG BD AB）。
step 3：update一下當前點和各個父結點的各個值
【代碼】
- inline void rotate(int x){
- int old=f[x],oldf=f[old],which=get(x);
- ch[old][which]=ch[x][which^1];f[ch[old][which]]=old;
- f[old]=x;ch[x][which^1]=old;
- f[x]=oldf;
- if (oldf)
- ch[oldf][ch[oldf][1]==old]=x;
- update(old);update(x);
- }
【splay操作】
其實splay只是rotate的發展。伸展操作只是在不停的rotate，一直到達到目標狀態。如果有一個確定的目標狀態，也可以傳兩個參。此代碼直接splay到根。
splay的過程中需要分類討論，如果是三點一線的話（x，x的父親，x的祖父）需要先rotate x的父親，否則需要先rotate x本身（否則會形成單旋使平衡樹失衡）
- inline void splay(int x){
- for (int fa;(fa=f[x]);rotate(x))
- if (f[fa])
- rotate((get(x)==get(fa)?fa:x));
- root=x;
- }
【insert操作】
其實插入操作是比較簡單的，和普通的二叉查找樹基本一樣。
step 1：如果root=0，即樹爲空的話，做一些特殊的處理，直接返回即可。
step 2：按照二叉查找樹的方法一直向下找，其中：
如果遇到一個結點的關鍵字等於當前要插入的點的話，我們就等於把這個結點加了一個權值。因爲在二叉搜索樹中是不可能出現兩個相同的點的。並且要將當前點和它父親結點的各項值更新一下。做一下splay。
如果已經到了最底下了，那麼就可以直接插入。整個樹的大小要+1，新結點的左兒子右兒子（雖然是空）父親還有各項值要一一對應。並且最後要做一下他父親的update（做他自己的沒有必要）。做一下splay。
- inline void insert(int v){
- if (root==0) {sz++;ch[sz][0]=ch[sz][1]=f[sz]=0;key[sz]=v;cnt[sz]=1;size[sz]=1;root=sz;return;}
- int now=root,fa=0;
- while (1){
- if (key[now]==v){
- cnt[now]++;update(now);update(fa);splay(now);break;
- }
- fa=now;
- now=ch[now][key[now]<v];
- if (now==0){
- sz++;
- ch[sz][0]=ch[sz][1]=0;key[sz]=v;size[sz]=1;
- cnt[sz]=1;f[sz]=fa;ch[fa][key[fa]<v]=sz;
- update(fa);
- splay(sz);
- break;
- }
- }
- }
【find操作】查詢x的排名
初始化：ans=0，當前點=root
和其它二叉搜索樹的操作基本一樣。但是區別是：
如果x比當前結點小，即應該向左子樹尋找，ans不用改變（設想一下，走到整棵樹的最左端最底端排名不就是1嗎）。
如果x比當前結點大，即應該向右子樹尋找，ans需要加上左子樹的大小以及根的大小（這裏的大小指的是權值）。
不要忘記了再splay一下
- inline int find(int v){
- int ans=0,now=root;
- while (1){
- if (v<key[now])
- now=ch[now][0];
- else{
- ans+=(ch[now][0]?size[ch[now][0]]:0);
- if (v==key[now]) {splay(now);return ans+1;}
- ans+=cnt[now];
- now=ch[now][1];
- }
- }
- }
初始化：當前點=root
和上面的思路基本相同：
如果當前點有左子樹，並且x比左子樹的大小小的話，即向左子樹尋找；
否則，向右子樹尋找：先判斷是否有右子樹，然後記錄右子樹的大小以及當前點的大小（都爲權值），用於判斷是否需要繼續向右子樹尋找。
- inline int findx(int x){
- int now=root;
- while (1){
- if (ch[now][0]&&x<=size[ch[now][0]])
- now=ch[now][0];
- else{
- int temp=(ch[now][0]?size[ch[now][0]]:0)+cnt[now];
- if (x<=temp)
- return key[now];
- x-=temp;now=ch[now][1];
- }
- }
- }
【求x的前驅（後繼），前驅（後繼）定義爲小於（大於）x，且最大（最小）的數】
這類問題可以轉化爲將x插入，求出樹上的前驅（後繼），再將x刪除的問題。
其中insert操作上文已經提到。
【pre/next操作】
這個操作十分的簡單，只需要理解一點：在我們做insert操作之後做了一遍splay。這就意味着我們把x已經splay到根了。求x的前驅其實就是求x的左子樹的最右邊的一個結點，後繼是求x的右子樹的左邊一個結點（想一想爲什麼？）
- inline int pre(){
- int now=ch[root][0];
- while (ch[now][1]) now=ch[now][1];
- return now;
- }
- inline int next(){
- int now=ch[root][1];
- while (ch[now][0]) now=ch[now][0];
- return now;
- }
【del操作】
刪除操作是最後一個稍微有點麻煩的操作。
step 1：隨便find一下x。目的是：將x旋轉到根。
step 2：那麼現在x就是根了。如果cnt[root]>1，即不只有一個x的話，直接-1返回。
step 3：如果root並沒有孩子，就說名樹上只有一個x而已，直接clear返回。
step 4：如果root只有左兒子或者右兒子，那麼直接clear root，然後把唯一的兒子當作根就可以了（f賦0，root賦爲唯一的兒子）
剩下的就是它有兩個兒子的情況。
step 5：我們找到新根，也就是x的前驅（x左子樹最大的一個點），將它旋轉到根。然後將原來x的右子樹接到新根的右子樹上（注意這個操作需要改變父子關係）。這實際上就把x刪除了。不要忘了update新根。
- inline void del(int x){
- int whatever=find(x);
- if (cnt[root]>1) {cnt[root]--;return;}
- //Only One Point
- if (!ch[root][0]&&!ch[root][1]) {clear(root);root=0;return;}
- //Only One Child
- if (!ch[root][0]){
- int oldroot=root;root=ch[root][1];f[root]=0;clear(oldroot);return;
- }
- else if (!ch[root][1]){
- int oldroot=root;root=ch[root][0];f[root]=0;clear(oldroot);return;
- }
- //Two Children
- int leftbig=pre(),oldroot=root;
- splay(leftbig);
- f[ch[oldroot][1]]=root;
- ch[root][1]=ch[oldroot][1];
- clear(oldroot);
- update(root);
- return;
- }
【總結】
平衡樹的本質其實是二叉搜索樹，所以很多操作是基於二叉搜索樹的操作。splay的本質是rotate，旋轉其實只是爲了保證二叉搜索樹的平衡性。
所有的操作一定都滿足二叉搜索樹的性質，所有改變父子關係的操作一定要update。
關鍵是理解rotate，splay的原理以及每一個操作的原理。
所有的操作均來自bzoj3224 普通平衡樹 附鏈接：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3224
完整代碼：http://blog.csdn.net/clove_unique/article/details/50636361