Numpy生成隨機分佈函數“二項分佈”+“正態分佈”，使用matplotlib展示概率質量函數（PMF）／概率密度函數（PDF）

• numpy.random.binomial(n,p,size)：產生size個符合（n，p）的二項分佈隨機數

即，相當於進行size次實驗，每次實驗都投擲n枚硬幣／每次實驗都將一枚硬幣投擲n次，記錄size次實驗中，正面朝上分別爲0-n次的實驗次數；其中每次試驗的成功概率爲p

1. 固定n值，對比p和size不同值的不同結果

'''繪製二項分佈的概率質量函數，使用不同參數展示'''
import matplotlib.pyplot as ply
import numpy as np

 # 產生二項分佈的隨機數並製作成直方圖
def plot_binomial(n,p,size):
    sample = np.random.binomial(n,p,size)  
    # 繪製直方圖，設置標題和座標
    n,edgebin,patch=plt.hist(sample, bins=n, rwidth=0.6) 
    plt.title('Binomial PMF with n={}, p={},size={}'.format(n,p,size))  
    plt.xlabel('number of successes')
    plt.ylabel('probability')
    # 打印n和bins的取值範圍
	print("edgebin = {}".format(edgebin))
    print("size number in bins = {}".format(n))

 # 製作四組不同參數輸入的結果圖對比
def difference_p_and_size():
    plt.figure(figsize=(12,10))
    
    ax=plt.subplot(221)
    plot_binomial(10, 0.5,10000)
    
    ax=plt.subplot(222)
    plot_binomial(10, 0.5,100)
    
    ax=plt.subplot(223)
    plot_binomial(10, 0.2,10000)
    
    ax=plt.subplot(224)
    plot_binomial(10, 0.8,10000)
    
    plt.show()

# 調用函數    
difference_p_and_size() 

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# 圖221中打印的結果：
edgebin = [ 0.  1.  2.  3.  4.  5.  6.  7.  8.  9. 10.]
size number in bins = [  10.  112.  408. 1175. 2062. 2478. 1986. 1200.  443.  126.]

# 圖222中打印的結果：
edgebin = [0.  0.9 1.8 2.7 3.6 4.5 5.4 6.3 7.2 8.1 9. ]
size number in bins = [ 1.  4.  6. 16. 17. 27. 16.  7.  5.  1.]

說明：

（1）每組“size number in bins”之和 = “size”參數；
bins的取值範圍在0-n之間，但是根據隨機數生成的結果不一樣，bins的取值會不同
（2）對於二項分佈來說，size的值越大即試驗次數越多，結果越趨近於“正態分佈”；
所以圖331和332之間，前者效果“更好”；
且size足夠大時，數據趨於穩定，不夠大時，每次生成的結果差距也會比較明顯（因爲隨機數據不一樣）
（3）在p=0.5 時，分佈無偏移；但是p=0.2或者p=0.8時，分佈有偏移；詳見333和334圖

2. 固定p值，對比不同n值的結果

import matplotlib.pyplot as ply
import numpy as np

 # 產生二項分佈的隨機數並製作成直方圖
def plot_binomial(n1,n2,p,size):
    # 使用同一套隨機數
    np.random.seed(1)
    sample1 = np.random.binomial(n1,p,size)  
    sample2 = np.random.binomial(n2,p,size)  
    # 繪製直方圖，設置標題和座標，及圖標
    labels=["sample1","sample2"]
    plt.hist(sample1, bins=n1, rwidth=0.6,alpha=0.6,label=labels) 
    plt.hist(sample2, bins=n2, rwidth=0.6,alpha=0.6,label=labels)
    plt.title('Binomial PMF with p={},size={}'.format(p,size))  
    plt.xlabel('number of successes')
    plt.ylabel('probability')
    # 展示圖標和圖形
    plt.legend()
    plt.show() 

plot_binomial(10,100,0.5,10000)

說明：

兩個圖像都呈較好的“正態分佈”；但是輸入參數n=100時，“成功次數”可以取的值的範圍也增加，樣本數據的值域更寬；這也導致落其“正態分佈”更平緩（只是單純的分攤範圍大，分擔數量少而已，“方差”大小的形象下面會詳細對比）

• numpy.random.normal(loc, scale, size)：正態分佈

正態分佈是一種很常用的統計分佈，可以描述現實世界的很多事物，同時具備非常漂亮的性質，此處不做過多的介紹；除此之外，我們更經常會用到的numpy.random.randn(size)實際上就是標準正態分佈（μ=0,σ=1）即numpy.random.normal(loc=0, scale=1, size)

import matplotlib.pyplot as ply
import numpy as np

# '''正態分佈概率密度函數'''的實現
def norm_pdf(x,mu,sigma):
    pdf = np.exp(-((x - mu)**2) / (2* sigma**2)) / (sigma * np.sqrt(2*np.pi)) 
    return pdf

mu = 0    # 均值爲0
sigma1 = 1 # 標準差爲1
sigma2 = 3

# 生成數據 
sample1 = np.random.normal(loc=mu, scale=sigma1, size=10000)
sample2=np.random.normal(loc=mu,scale=sigma2,size=10000)
# 用統計模擬繪製正態分佈的直方圖
plt.figure(figsize=(10,8))
plt. hist(sample1, bins=100, alpha=0.3,density=True,label="sample1")    # 如果不使用density參數會導致無法呈現PDF曲線，因爲pdf曲線Y軸小到無法在正態分佈的直方圖Y軸值下展示
plt.hist(sample2,bins=100,alpha=0.3,density=True,label="sample2")
# 根據正態分佈的公式繪製PDF曲線
x = np.arange(-10, 10, 0.01)
y1 = norm_pdf(x, mu, sigma1)
y2 = norm_pdf(x,mu,sigma2)
plt.plot(x,y1,color='orange',lw=3)
plt.plot(x,y2,c='k',lw=2)

plt.legend()
plt.show()

說明：

“方差”越大，分佈越平緩