算法——如何快速判斷素數？

前言

最近閒來無事，刷刷題，碰到這樣一個題目：

需求：要求實現一個判斷素數的簡單函數
相關信息：素數就是隻能被1和自身整除的正整數。注意：1不是素數，2是素數。
輸入：任意整數
輸出：1——素數;0——非素數.

第一反應是將大於等於2的輸入整數循環除以每個小於自身且大於1的整數，若餘數爲0，則爲非素數。
再一想，這樣做速度實在太慢，時間複雜度爲$o(n)$。故在網上水了一波，看看到底有沒有更快速的算法。

解決方案

方案1

方案1，就是上述方法，代碼如下：

int prime(int p)
{
	if(p<=1)
	{
		return 0;
	}
	for(int i=2;i<p;i++)
	{
		if(p%i==0)
		{
			return 0;
		}
	}
	return 1;
} 

方案2

方案2是方案1的改進方案，該方案基於以下客觀事實：一個數若可以進行因數分解，那麼分解時得到的兩個數一定是一個小於等於sqrt(n)，一個大於等於sqrt(n)，據此，上述代碼中並不需要遍歷到n-1，遍歷到sqrt(n)即可，因爲若sqrt(n)左側找不到約數，那麼右側也一定找不到約數。

int prime(int p)
{	
	if(p<=1)
	{
		return 0;
	}
	for(int i=2;i<int(sqrt(p))+1;i++)
	{
		if(p%i==0)
		{
			return 0;
		}	
	}
	return 1;
}

上述算法時間複雜度爲$o(sqrt(n))$.

方案3（最優算法)

和方案2一樣，首先素數有這樣一個規律：大於等於5的質數一定和6的倍數相鄰。例如5和7，11和13等。
證明過程如下：
$令x>=1;則大於等於5的自然數表示如下：\\ ...,6x-1,6x,6x+1,6x+2,6x+3,6x+4,... \\ 可以看到，不在6的倍數兩側的數：6x,2(3x+1),3(2x+1),2(3x+2)都不是素數。\\ 可能爲素數的就只有：6x-1和6x+1;$
因此，我們將所有輸入的大於等於5的數據以上述方式表示，將其除以6，若餘數不爲1，或者5，則直接證明其不是素數，剩下的進行判斷：

int prime(int p)
{
	if (p == 2 || p == 3)
	{ 
		return 1; 
	}
	if (p % 6 != 1 && p % 6 != 5)
	{ 
		return 0; 
	}
	for (int i = 5; i <= floor(sqrt(p)); i += 6)
	{
		if (p%i == 0 || p % (i + 2) == 0)
		{ 
			return 0;
		}
	}
	return 1;
}

總結

算法3能極大降低運算量，提升運算速度。小小的問題，大大的智慧啊，感謝大神們，雖然我不知道是誰。