前段時間無意中想推導３維空間的最大分割數的公式，即ｎ個平面最多可以把空間分割成多少份。打算採用遞推法猜，再用數學歸納法證明的方法求解。
先從1維空間的分割開始，１維空間是點分割線，條件是點不重合。分割數公式很簡單：
Sn ＝ n + 1 < Sn 爲1維空間的最大分割數，n=1, 2, 3…>
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然後是2維空間的分割：１條直線把平面分割成２個部分，２條直線(相交)把平面分割成４個部分，３條直線(兩兩相交且交點無重複)把平面分割成７個部分，４條直線(兩兩相交且交點無重複)把平面分割成１１個部分……採用迴歸分析法，求解得：
Pn ＝ n(n+1)/2 + 1 < Pn 爲２維空間的最大分割數，n=1, 2, 3…>
看來３維空間的分割數公式應該是３次多項式。接着照葫蘆畫瓢，來推３維空間的公式，可惜本人的空間想象力有限，４個平面的情況下就想象不出了。
卡在這裏無法下手，於是用google在網上查詢，看看有沒有其他人研究過這個問題。結果發現德國的幾何學家施泰納(J. Steiner)首先提出並解決過這個問題，這個問題已被歸入現代１００個經典數學問題中。可惜沒有在網上找出具體的求解步驟，於是接下來的數個月力繼續被這個問題折磨中……直到上個月從網上買到山西科學技術出版社的《數學的100個基本問題》一書才解脫。現公佈求解過程：
仍然是先從平面推起。平面最大分割數的條件上面列過，就不重複了。現在，記n條直線把平面最大分割成Pn份，爲了Pn，先設法獲得它的遞推公式。假設平面已經被n-1條直線最大分割成Pn-1份，接着又添加第n條直線，獲得最大分割數。此時必定增加n-1個交點，而且這條新添加的直線必定穿過原來的n個部分，把這n個部分每一個都一分爲二。所以，這第n條直線的添加使得原來部分平面的分數增加了n個，這樣就得到了一個遞推公式：
Pn ＝ Pn-1 + n
依次令ｎ＝１，２，３，．．．，ｎ，注意到P0＝1，把所得到的ｎ個式子相加即爲：
Pn ＝ 1 + ( 1 + 2 + 3 +…+ n ) ＝ n(n+1)/2 + 1
其次考慮空間情況。爲了把空間分割成最大的分數，同樣需要所給的平面滿足類似的條件，即任何兩個平面都相交，且沒有三個以上的平面交線重合。記如此的n個平面把空間最大分割成Cn份。假設空間已經被n-1個平面最大分割成Cn-1份，接着又添加第n個平面，獲得最大分割數。此時，新增加的平面和原先的平面必定產生n-1條交線，而且，任何２條交線都兩兩相交且交點無重複。把所有的交線投影到一個平面上，因此，新添加的這個平面所添加的n-1條交線把投影所得的平面分割成了Pn-1份。再把投影平面還原，則這Pn-1份平面部分都把它所在的原空間部分相應的分割成了兩份。所以，這第n個平面的添加使得原來空間部分的份數增加了Pn-1個，於是就得到了相應的遞推公式：
Cn ＝ Cn-1 + Pn-1
依次令ｎ＝１，２，３，．．．，ｎ，注意到C0＝P0＝1，把所得到的ｎ個式子相加即爲：
Cn ＝ 1 + ( 1 + P2 +…+ Pn-1 ) ＝ 2 +
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根據正整數的方冪求和公式有：
＝n(n-1)/2，＝n(n-1)(2n-1)/6，
代入上述的Cn-1的求解公式得：
Cn ＝ 2 + n(n-1)(2n-1)/12 + n(n-1)/4 + (n+1) ＝ (n3+5n+6)/6
到這裏之前的疑問就算解決了。不過，我的腦子裏又冒出了新的問號。正如2維平面的生物只能觀測到1維，3維空間的生物只能觀測到2維一樣，現實生活中的我們所處的空間維數肯定大於３(無論是廣義相對論中的４維時空模型還是現代物理中的M理論中的10或11維空間模型)。4維空間甚至更高維數的多維空間如果可以分割，那麼其最大分割數肯定可以求導。
上面的推導過程中，有一點很重要，即把n維空間投影到n-1維，然後利用n-1維的分割數公式求和來計算n維空間的最大分割數。我用此法試求出了4維空間的最大分割數(計n個３維空間把４維空間最大分割成Vn份)：
Vn ＝ Vn-1 + Cn-1 ＝ (n4-2n3+11n2+14n+24)/24
不過，由於３維以上的空間不可測，說不定４維空間不能投影到３維空間上，所以無法證明，上面的公式只是猜測。不過，沒有大膽猜測，任何科技都無法在原有基礎上取得突破，不是嗎？