NP難度這門課還是比較有意思的，老師佈置了一道作業，寫一個用擬人擬物法求解不等圓Packing問題的小程序。
問題描述：在一個已知的容器中希望能放下N個不同形狀大小的物體，其中界限容器的封閉邊境以及各個物體都是不可入的剛性實體，如果客觀上放不下，我們要求做出放不下的判斷；如果客觀上放得下，則要求給出每個物體的位置和方向。
這就是所謂的Packing問題，我們將問題簡化了，只考慮圓形的容器和物體，給定容器的半徑、物體的數量、物體的半徑，求解是否存在一種佈局，使得容器和物體兩兩之間都不相交。Packing問題是一個NP難度問題，因爲我們要確定不存在滿足條件的佈局，必須窮舉所有的佈局，這是不可能的。
擬物方法是解決Packing問題的比較經典的算法。我們將這N個圓形物體和容器想象成光滑彈性的氣球，容器是固定不動的，當這N個物體放入容器後，就會受到擠壓而在彈力的作用下開始運動，最終有可能各個物體和容器都恢復自己的大小和形狀，問題就得到了解決。因此我們引入以下概念：
- 任一時刻，稱N個物體的圓心座標x1，y1，x2，y2……，xn，yn爲系統在此刻的格局；
- 物體間的距離Lij，如果i、j物體相切，Lij=0；如果i、j物體相離，Lij>0；如果i、j物體相交，Lij<0，且|Lij| = Ri + Rj - 圓心距離；
- 物體間的彈性勢能Uij，當Lij>=0時，Uij=0；當Lij<0時，Uij=Lij^2；
- 物體和容器所構成系統的總彈性勢能U，等於各個物體彈性勢能之和；
- 物體移動的步長h，物體向當前時刻所受合力方向移動的距離；
- 梯度t，h梯度下降的速度。
很顯然，U等於0代表着問題得到了解決。具體的擬物方法：1.初始化階段，爲物體隨機產生一個格局；2.計算當前格局的總彈性勢能，如果U=0退出算法；3.比較當前總勢能和上一格局的總勢能，如果勢能上升了，h=h*t；4.計算每一個物體所受的合力向量，朝其合力方向移動h長度，獲得新的格局；5.返回第二步。第三步的意思是梯度下降，當發現總勢能上升時，說明格局一步跳大了越過了平衡點，這時應減小步長h。
但是純粹的擬物方法有可能掉入局部最小值的陷阱，即各個物體和容器的受力並不爲零，但是合力爲零，物體將不會繼續運動，這時就需要引入擬人方法。想象一下擁擠的公交車，車裏面最想挪位置的是擠得最厲害的人，因此我們將當前擠壓最嚴重的物體（姑且稱其爲“難民”吧）拿出來放到另外一個位置上，走出局部最小值陷阱。先引入以下概念：
- 任一格局之下，物體i的絕對痛苦指數DPi爲此時自身具有的彈性勢能；
- 任一格局之下，物體i的相對痛苦指數RDPi爲此時其自身具有的彈性勢能除以其半徑的平方。
當h很小時，物體的移動速度很慢，我們就認爲系統掉入了局部最小值陷阱。此時選出RDP最大的物體，隨機放到五個位置（容器外圍的四角和圓心）中去，如果這次的難民連續兩次中標，就改爲調整DP最小的物體。
算法的擬物部分較死板一些，而擬人部分有不少地方值得思考。包括如何判斷局部最小值陷阱、如何選擇難民以及如何重新放置難民，這幾個點的設計直接會影響到算法的效率。關於如何放置難民，我測試了三種方案。
- 隨機取一個座標，這是書上推薦的辦法，但是我的測試卻並不理想，解題的時間很看運氣，往往很長時間找不到最優解。
- 只從固定的點中選擇，我選擇的候選點是能包含容器的最小矩形的四個角，然後將難民分配到最遠的角去，但是這種辦法可能導致死循環，難民在兩個點來回奔波，而且如果大量的空白區域被幾個物體圍在中心，會導致其它物體長時間不能進入。
- 在四角的基礎上，增加容器中心的位置，然後從五個位置隨機選擇一個點安放難民，試驗表明這種方法是三種方法裏面最好的。
可以看出，隨機性的算法可能很長時間得不到解，而非隨機性的算法就可能進入死循環，這是不是說明了“過於理性的思考可能使人發瘋”呢。關於如何判斷局部最小值陷阱，我覺得是比較難的，試了兩種方法，理論上都有缺陷，但測試都還沒發現問題。
- 當h很小時，就判定進入了局部最小值陷阱，這是書上推薦的方法，實現很簡單，但是限制了物體移動步長的最小值，可能恰好只需要一個更小的步長就能到達最優解；
- 當h/U很小時，就判定進入局部最小值陷阱，這種方法可以判斷出所有的局部最小值陷阱，同1一樣，也存在將最優解誤判爲陷阱的可能性，但是我認爲概率更小。
在實現的時候需要注意，h應該是和容器半徑成比例的。用於測試的實驗輸入數據：
- 容器的半徑爲6，小圓個數是7，它們的半徑都是2；
- 容器的半徑爲2.4143，小圓的個數是9，其中四個小圓的半徑是1，五個小圓的半徑是0.41415；
- 容器的半徑爲2.4143，小圓的個數是17，其中四個小圓的半徑是1，五個小圓的半徑是0.41415，八個小圓的半徑是0.2。
第一種輸入最簡單，可以用來檢驗程序是否存在大的邏輯問題，程序正確的話應很快就能計算出來。
第二種輸入較複雜些，如果按照書上的算法，當落入局部最小值陷阱時，將難民隨機放置到一個位置，運氣不好可能較長時間才能解出來。所以我對其進行了優化，在圓的四角取四個點，加上圓心，將難民隨機放到這五個位置之一，通常幾秒鐘就能找到答案。
第三種輸入是最難的，在第二種輸入的情況下增加了8個小圓，解題需要非常長的時間。大概跑了20分鐘得到了結果。
程序是用MFC寫的，遇到了在別的機器不能運行的問題，原因是工程選擇了使用MFC的動態鏈接庫，需要在vs裏將工程的properties->General->Use of MFC改爲使用靜態鏈接庫，同時properties->C/C++->Runtime Library也要改成MT。
參考文獻
[1] 黃文奇，許如初。近世計算理論導引——NP難度問題的背景、前景以及求解算法研究。 科學出版社。