求對數及篩選法求素數

以下內容爲《算法：C語言實現》筆記。

1. 求對數：

/****************************************************************
求對數函數
這個函數更重要的意義在於：若用a進製表示n, 則函數的返回值爲表示n所需要的位數
複雜度: O(lgn)
****************************************************************/
int loga(int n, int a)
{
	assert(n > 0);
	assert(a > 1);

	int i;

	for (i = 0; n > 0; i++, n /= a)
		;

	return i;
}

2. 求素數：

  a. 基本方法：

/****************************************************************
	基本法求素數
	複雜度: Nsqrt(N)
****************************************************************/
int get_prime2(int n, int* primearray)
{
	assert(n>1);
	assert(NULL != primearray);

	int cnt = 0;
	int i, j;
	for (i = 2; i <= n; i++)
	{
		for (j = 2; j <= sqrt(i); j++)
		{
			if (0 == (i%j)) break;
		}

		if (j > sqrt(i))
		{
			primearray[cnt++] = i;
		}
	}

	return cnt;
}

 

   b. 篩選法：

/****************************************************************
篩選法求小於等於n的所有素數:
算法：
	首先，將所有數組元素設置爲1，表示沒有已知的非素數；
	然後將已知爲非素數(即爲已知素數的倍數)的索引對應的數組元素設置爲0；
	如果所有較小素數的倍數都設置爲0之後,a[i]仍然保持爲1,則可判斷它是素數
複雜度：
	顯然，程序的運行時間與下式成正比:
		N + N/2 + N/3 + N/7 + N/11 +  ...
	  < N + N/2 + N/3 + N/4 + ... = NH(N) (約爲NlnN)
	  (H(n): 調和函數)
****************************************************************/
int get_prime(int n, int* primearray)
{
	assert(n>1);
	assert(NULL != primearray);

	char *a = (char *)malloc(n+1);
	assert(a != NULL);

	int i, j;
	int cnt = 0;

	for (i = 2; i <= n; i++)
	{
		a[i] = 1;
	}

	for (i = 2; i <= n; i++)
	{
		if (1 == a[i])
		{
			for (j = i; j <= n / i; j++)
			{
				a[i*j] = 0;
			}
		}
	}

	for (i = 2; i <= n; i++)
	{
		if (1 == a[i])
		{
			primearray[cnt++] = i;
		}
	}

	free(a);

	return cnt;
}

      注意: a的空間複雜度爲O(1)，b的空間複雜度爲O(N)。