@(課程)[高數]
Chapter06 無窮級數
6.1 常數項級數的概念和性質
- 若干概念：
- （常數項）級數：
∑n=1∞un ，其中ui 爲常數 - 通項（或一般項）：
un - 部分和
Sn ：un 的前n項和；部分和數列：{Sn} - 級數收斂：
Sn 在n趨於無窮時存在極限S ，否則發散
- （常數項）級數：
- 等比級數（幾何級數）：
un=aqn−1
- 當
|q|<1 時，極限爲a1−q - 當
|q|≥1 時，等比級數發散
- 當
收斂級數的基本性質
- 級數的每一項同乘一個不爲零的常數，其斂散性不變。
- 兩個收斂級數可以逐項相加減。
- 改變級數的有限項不改變級數的斂散性。
- 若級數收斂，則對該級數各項按原次序任意分組加括號，新級數仍收斂且其和不變。
推論：若加括號後發散，則原來的級數一定發散。 - 級數收斂必要條件：
limn→∞un=0 ，但反過來不一定成立（即不充分）。 - 調和級數
un=1n 發散，證明：
將21 項，後面22 項，……，後面2m 項分組，
(1+1/2)+(1/3+1/4)⋯+(12m+1+12m+2+⋯+12m+1)+⋯ ，
此加括號級數部分和Sm+1>1/2+1/2+cdots+1/2=12(m+1) ，故發散 - 級數發散的充分條件：
limn→∞un≠0