在0 / 1揹包問題中，需對容量爲c 的揹包進行裝載。從n 個物品中選取裝入揹包的物品，每件物品i 的重量爲wi ，價值爲pi .對於可行的揹包裝載，揹包中物品的總重量不能超過揹包的容量，最佳裝載是指所裝入的物品價值最高，即n ？i=1pi xi 取得最大值。約束條件爲n ？i =1wi xi≤c 和xi？[ 0 ， 1 ] （ 1≤i≤n）。
在這個表達式中，需求出xt 的值。xi = 1表示物品i 裝入揹包中，xi =0 表示物品i 不裝入揹包。0 / 1揹包問題是一個一般化的貨箱裝載問題，即每個貨箱所獲得的價值不同。貨箱裝載問題轉化爲揹包問題的形式爲：船作爲揹包，貨箱作爲可裝入揹包的物品。 例1-8 在雜貨店比賽中你獲得了第一名，獎品是一車免費雜貨。店中有n 種不同的貨物。規則規定從每種貨物中最多隻能拿一件，車子的容量爲c，物品i 需佔用wi 的空間，價值爲pi .你的目標是使車中裝載的物品價值最大。當然，所裝貨物不能超過車的容量，且同一種物品不得拿走多件。這個問題可仿照0 / 1揹包問題進行建模，其中車對應於揹包，貨物對應於物品。
0 / 1揹包問題有好幾種貪婪策略，每個貪婪策略都採用多步過程來完成揹包的裝入。在每一步過程中利用貪婪準則選擇一個物品裝入揹包。一種貪婪準則爲：從剩餘的物品中，選出可以裝入揹包的價值最大的物品，利用這種規則，價值最大的物品首先被裝入（假設有足夠容量），然後是下一個價值最大的物品，如此繼續下去。這種策略不能保證得到最優解。例如，考慮n=2， w=[100，10，10]， p =[20，15，15]， c = 1 0 5.當利用價值貪婪準則時，獲得的解爲x= [ 1 ， 0 ， 0 ]，這種方案的總價值爲2 0.而最優解爲[ 0 ，1 ， 1 ]，其總價值爲3 0.
另一種方案是重量貪婪準則是：從剩下的物品中選擇可裝入揹包的重量最小的物品。雖然這種規則對於前面的例子能產生最優解，但在一般情況下則不一定能得到最優解。考慮n= 2 ，w=[10，20]， p=[5，100]， c= 2 5.當利用重量貪婪策略時，獲得的解爲x =[1，0]， 比最優解[ 0 ， 1 ]要差。
還可以利用另一方案，價值密度pi /wi 貪婪算法，這種選擇準則爲：從剩餘物品中選擇可裝入包的pi /wi 值最大的物品，這種策略也不能保證得到最優解。利用此策略試解n= 3 ，w=[20，15，15]， p=[40，25，25]， c=30 時的最優解。
我們不必因所考察的幾個貪婪算法都不能保證得到最優解而沮喪， 0 / 1揹包問題是一個N P-複雜問題。對於這類問題，也許根本就不可能找到具有多項式時間的算法。雖然按pi /wi 非遞（增）減的次序裝入物品不能保證得到最優解，但它是一個直覺上近似的解。我們希望它是一個好的啓發式算法，且大多數時候能很好地接近最後算法。在6 0 0個隨機產生的揹包問題中，用這種啓發式貪婪算法來解有2 3 9題爲最優解。有5 8 3個例子與最優解相差1 0 %，所有6 0 0個答案與最優解之差全在2 5 %以內。該算法能在O （nl o gn）時間內獲得如此好的性能。我們也許會問，是否存在一個x （x<1 0 0 ），使得貪婪啓發法的結果與最優值相差在x%以內。答案是否定的。爲說明這一點，考慮例子n =2， w = [ 1 ，y]， p= [ 1 0 ， 9y]， 和c= y.貪婪算法結果爲x=[1，0]， 這種方案的值爲1 0.對於y≥1 0 / 9，最優解的值爲9 y.因此，貪婪算法的值與最優解的差對最優解的比例爲（ （ 9y - 1 0）/9y* 1 0 0 ） %，對於大的y，這個值趨近於1 0 0 %.但是可以建立貪婪啓發式方法來提供解，使解的結果與最優解的值之差在最優值的x% （x<100） 之內。首先將最多k 件物品放入揹包，如果這k 件物品重量大於c，則放棄它。否則，剩餘的容量用來考慮將剩餘物品按pi /wi 遞減的順序裝入。通過考慮由啓發法產生的解法中最多爲k 件物品的所有可能的子集來得到最優解。
例13-9 考慮n =4， w=[2，4，6，7]， p=[6，10，12，13]， c = 11.當k= 0時，揹包按物品價值密度非遞減順序裝入，首先將物品1放入揹包，然後是物品2，揹包剩下的容量爲5個單元，剩下的物品沒有一個合適的，因此解爲x = [ 1 ， 1 ， 0 ， 0 ].此解獲得的價值爲1 6.
現在考慮k = 1時的貪婪啓發法。最初的子集爲{ 1 } ， { 2 } ， { 3 } ， { 4 }.子集{ 1 } ， { 2 }產生與k= 0時相同的結果，考慮子集{ 3 }，置x3 爲1.此時還剩5個單位的容量，按價值密度非遞增順序來考慮如何利用這5個單位的容量。首先考慮物品1，它適合，因此取x1 爲1，這時僅剩下3個單位容量了，且剩餘物品沒有能夠加入揹包中的物品。通過子集{ 3 }開始求解得結果爲x = [ 1 ， 0 ， 1 ， 0 ]，獲得的價值爲1 8.若從子集{ 4 }開始，產生的解爲x = [ 1 ， 0 ， 0 ， 1 ]，獲得的價值爲1 9.考慮子集大小爲0和1時獲得的最優解爲[ 1 ， 0 ， 0 ， 1 ].這個解是通過k= 1的貪婪啓發式算法得到的。
若k= 2，除了考慮k< 2的子集，還必需考慮子集{ 1 ， 2 } ， { 1 ， 3 } ， { 1 ， 4 } ， { 2 ， 3 } ， { 2 ， 4 }和{ 3 ， 4 }.首先從最後一個子集開始，它是不可行的，故將其拋棄，剩下的子集經求解分別得到如下結果：[ 1 ， 1 ， 0 ， 0 ] ， [ 1 ， 0 ， 1 ， 0 ] ， [ 1 ， 0 ， 0 ， 1 ] ， [ 0 ， 1 ， 1 ， 0 ]和[ 0 ， 1 ， 0 ， 1 ]，這些結果中最後一個價值爲2 3，它的值比k= 0和k= 1時獲得的解要高，這個答案即爲啓發式方法產生的結果。 這種修改後的貪婪啓發方法稱爲k階優化方法（k - o p t i m a l）。也就是，若從答案中取出k 件物品，並放入另外k 件，獲得的結果不會比原來的好，而且用這種方式獲得的值在最優值的（ 1 0 0 / （k + 1 ） ） %以內。當k= 1時，保證最終結果在最佳值的5 0 %以內；當k= 2時，則在3 3 . 3 3 %以內等等，這種啓發式方法的執行時間隨k 的增大而增加，需要測試的子集數目爲O （nk ），每一個子集所需時間爲O （n），因此當k >0時總的時間開銷爲O （nk+1 ）。實際觀察到的性能要好得多。