矩形法求定積分的原理和實現

矩形法求解定積分

做個小筆記，如表述有不對的地方，歡迎指正。

原理

積分在圖形上表示就是面積，把被積分區域劃分成一個個小矩形，求解這些矩形的面積和即可。

被積函數：$f(x)$;

積分區間：$[a,b]$;

積分區間劃分數：$N$;

每個小矩形的面積：
$Si = (b - a )/ N * |f(a + (b - a )/ N * i)|$

說明：
你可以想象一下，在積分函數圖形上，我們把被積分區域劃分成$N$等份，

此時每個小矩形的底爲：$(b - a )/ N$.

如果N足夠大，可以把被積分區域劃分成一根根針一樣大小的矩形區域。

此時小矩形的底可以看成一個點，在被積分區域內，每個小矩形對應的位置

爲：$x = a + (b - a )/ N * i$,將其代入$f(x)$即可得到對應小矩形的高。

假設$i$爲第$i$塊小矩形 , 則$|f(a + (b - a )/ N * i)|$即爲第$i$塊小矩形的高。

所以計算每個小矩形的面積用如上所述的公式。

$f(x)$如果爲$cos,sin,exp$等內置函數可以使用C/C++裏面的math庫

例子

求解定積分：$\int^{1}_{0}sinxdx$

根據上述公式寫出矩形法求解此定積分的代碼：

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

double get_integral_sinx(double a,double b,int N)
{
    /*
    積分區間：[a,b]
    積分區間劃分數目：N ，越大求得的結果越精細
    被積分函數：sinx
    */
    double x = (b - a) / N;
    double ans = 0;
    for(int i = 1; i <= N; ++i)
    {
        ans += x * fabs(sin(a + x*i));
    }
    return ans;
}
int main()
{
  double ans = get_integral_sinx(0,1,1000);
  cout<<ans<<endl;
  return 0;
}

如果你第一次接觸，你難免會對上述做法有點疑慮，怕不可靠。
爲了打消你的疑慮，我們結合我們手動求解定積分的方式來一個結果對比驗證：

$\int^{1}_{0}sinxdx = [-cosx]^{1}_{0} = 1 - cos(1)$

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
int main()
{
  cout<<(1-cos(1))<<endl;
  return 0;
}

運行上述兩段代碼，（運行結果我就不貼了，請自行驗證）就可以對比出矩形法求解定積分的可靠性。

其他

我們常常可以使用C/C++裏的math庫中的一些內置函數來表示我們常用的一些常數。
比如圓周率$PI$:
因爲$cos(PI) = -1.0$,所以有：

const double PI = acos(-1.0);

再如：常數$e$,我記得大概是2.7…
$exp(x)$函數是用於計算$e^x$,所以有：

const double e = exp(1.0);