[IOI 1998] Camelot：最短路

題意：8*8的棋盤上有一個王和0或多個騎士，騎士走日，王上下左右斜，王和騎士相遇後可以騎騎士的馬，此後步數不再單獨計算。求王、所有騎士彙集在一點的最小總步數。

USACO Training上有強化版，棋盤變爲最大26*40。原題可以三次方暴力枚舉，加強後怎麼做呢？

設匯集點爲P ，騎士的集合爲A ，a 原位置爲sa ，k 代表King，則

answer(P)=∑a∈Adistknight(sa,P)+min{distknight(sb,Q)+distking(sk,Q)+distknight(Q,P) (b∈A)}

枚舉騎士b ，用SPFA求出到每一點Q的min{distknight(sb,Q)+distking(sk,Q)+distknight(Q,P)} 。具體地，給狀態加上一維，表示騎士是否已經帶上王。沒帶王可以在此處帶王，可以自己繼續走；已經帶王就帶着王繼續走。

SPFA的同時求出每個騎士到每一點的最短路，累加即得∑a∈Adistknight(sa,P) ，枚舉P ，得到答案。

原本想枚舉騎士接王的位置和騎士，再枚舉匯集點。然而，answer 的表達式min 裏的部分含匯集點P ，不知道怎麼分離。

既然不知道怎麼分離，那就一起算嘛……我也往這方面想過，但是隻想到把狀態定義爲(騎士的位置, 王的位置)。其實，某一時刻騎士和王分別在哪裏是沒有意義的，可以不出現在狀態的表示中。

也可以先求騎士到每點的最短路，然後加上王到該點的最短路，再跑一遍Dijkstra（因爲馬老師從不寫SPFA QAQ）。這樣可以不加額外的一維。

有同學猜測騎士不需要繞道接王，這是不對的……網上有一種說法接王的地點僅限於王附近+-1/2，這也是不對的。見http://wiki.codevs.com/wiki/USACO/camelot

#include <cstdio>
#include <queue>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cassert>
using namespace std;
const int M = 8, N = 8, dr[] = {-2, -1, 1, 2, 2, 1, -1, -2}, dc[] = {1, 2, 2, 1, -1, -2, -2, -1}, inf = 0x3f3f3f3f;
char s[M*N*2+1];
int d[M][N][2], w[M][N], p[M][N], sum[M][N];
bool inq[M][N][2];
struct State {
    int r, c;
    bool f;
};
queue<State> Q;

inline bool in(int r, int c)
{
    return r >= 0 && r < M && c >= 0 && c < N;
}

inline void relax(State v, int dis)
{
    if (d[v.r][v.c][v.f] > dis) {
        d[v.r][v.c][v.f] = dis;
        if (!inq[v.r][v.c][v.f]) {
            inq[v.r][v.c][v.f] = true;
            Q.push(v);
        }
    }
}

// 騎士在(r, c)，到每個點不帶王的最短路，帶王的最短路
void spfa(int r, int c)
{
    memset(d, 0x3f, sizeof(d));
    relax((State){r, c, false}, 0);
    while (!Q.empty()) {
        State u = Q.front();
        Q.pop();
        inq[u.r][u.c][u.f] = false;
        int dis = d[u.r][u.c][u.f];
        if (!u.f)
            relax((State){u.r, u.c, true}, dis + w[u.r][u.c]);
        for (int k = 0; k < 8; ++k) {
            State v = (State){u.r+dr[k], u.c+dc[k], u.f};
            if (in(v.r, v.c))
                relax(v, dis+1);
        }
    }
}

int main()
{
    memset(p, 0x3f, sizeof(p));
    scanf("%s", s);
    int kr = s[0]-'A', kc = s[1]-'1';
    for (int i = 0; i < M; ++i)
        for (int j = 0; j < N; ++j)
            w[i][j] = max(abs(i-kr), abs(j-kc));
    if (!s[2]) {
        puts("0");
        return 0;
    }
    for (int k = 2; s[k]; k += 2) {
        spfa(s[k]-'A', s[k+1]-'1');
        for (int i = 0; i < M; ++i)
            for (int j = 0; j < N; ++j) {
                p[i][j] = min(p[i][j], d[i][j][1]-d[i][j][0]);
                if (d[i][j][0] == inf)
                    sum[i][j] = inf;
                else if (sum[i][j] != inf)
                    sum[i][j] += d[i][j][0];
            }
    }
    int ans = inf;
    for (int i = 0; i < M; ++i)
        for (int j = 0; j < N; ++j)
            if (sum[i][j] != inf && p[i][j] != inf)
                ans = min(ans, sum[i][j]+p[i][j]);
    printf("%d\n", ans);
    return 0;
}