01分數規劃學習筆記

何爲01分數規劃

01分數規劃解決的是這麼一類問題：

從給定的數列${a_i}、{b_i}$，求$\frac{\sum_{i=1}{a_i}*p_i}{\sum_{i=1}{b_i}*p_i}$的最值問題

其中p爲一個01數列。

也就是從一個二元組列表中選一些二元組，求x項之和/y項和的最值。

常常是求最大中的最小、最小中的最大。

這類問題我們通常用二分+分數規劃來做

詳解

直接求解不容易，我們可以考慮如何判斷某個答案是否合法。

下面以最小值爲例：

假設二分出答案ans

令$\frac{\sum_{i=1}{a_i}*p_i}{\sum_{i=1}{b_i}*p_i}$中分母爲A，分子爲B

那麼$=A/B >= ans$

$=A>=ans*B$

$=A-B*ans>=0$

把AB兩個式子展開：

$=\sum_{i=1}^{a_i*p_i-b_i*p_i*ans}>=0$

所以當最後一個式子成立的時候答案ans合法。

我們有注意到ans越大越不好滿足，所以這個是有單調性的。

如果ans不行，那麼比ans大的都不能滿足；如果ans合法，那麼比ans小的都合法。

因此我們可以二分ans，然後判斷。

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最小路徑密度

題解