譯者：i_dovelemon
日期：2016 / 03 / 06
來源：GameDev,CSDN
主題：Physics Engine, Verlet integration, Collision Detection, Collision Response
介紹
本篇文章將要講述如何在2D場景中模擬遊戲物理。我們將會使用一個名爲Verlet積分器進行設計，並且會講述點運動，形狀建立，碰撞檢測和碰撞反應。讀者應該對基本的向量加減運算有一定的瞭解。如果對2D歐幾里得幾何學有很好的掌握就再好不過了。
Verlet積分
首先，什麼是Verlet積分？Verlet積分器指的是一種對運動方程進行數值積分的方法。對於本篇文章來說，你不需要知道數值積分實際的含義是什麼；一般來說，Verlet積分描述了一個點在一段時間裏的運動情況。有很多的方法能夠實現這樣的功能--我想，你們大多數時候都是使用Euler積分來進行，如下：
如果將上面的兩個公式合併成一個公式，也就是將上面的Velocity[New]帶入到下面的公式中去就得到如下的公式：
Verlet積分器有很多種不同的類型-- Position Verlet, Velocity Verlet, Leapfog。在這篇文章裏面，我們將主要使用Position Verlet積分器，它有很多的優點，我們將在本篇文章中使用到。
關於Position Verlet積分器的公式，和上面的Euler積分器的公式相差不多，如下所示：
從上面，我們可以看到，在Position Verlet中，我們使用(Position[Current] - Position[Old])來代替在Euler積分器中的Velocity[New] * Timestep。也就是說，在Position Verlet積分器中，我們不需要考慮Velocity這個參數。實際上這種方法是不精確的，我們僅僅使用了Position[Current] - Position[Old]來近似的模擬物體運動中的速度。但是，使用這種方法卻是非常的快速和穩定的，所以對於遊戲來說，這種方法非常的高效。同樣，使用這種方法接下來的碰撞反應也能夠非常容易處理。我們來考慮下面的情況：
灰色的表示的是Position[Old]，黑色的表示的是Position[Current]。過了一段時間後，這個點就會碰撞到前面的方塊。當檢測到了碰撞檢測之後，我們只要將點移出到方塊的外面，碰撞反應就成功的處理了。由於在Position Verlet積分器中，我們使用的是(Position[Current] - Position[Old])來作爲點運動的速度，那麼當我們改變了Position[Current]或者Position[Old]的時候，點的運動速度也就隨之而改變，而這正是我們要在碰撞反應裏面要做的內容。如下圖所示，這個點會自動的進行減速，並且最終停止運動：
我們將上面講述的理論編碼成如下的程序：
struct Point {
Vec2 Position;
Vec2 OldPosition;
Vec2 Acceleration;
};
class Physics {
int PointCount;
Point* Points[ MAX_VERTICES ];
float Timestep;
public:
void UpdateVerlet();
//Constructors, getters/setters etc. omitted
};
void Physics::UpdateVerlet() {
for( int I = 0; I < PointCount; I++ ) {
Point& P = *Points[ I ];
Vec2 Temp = P.Position;
P.Position += P.Position - P.OldPosition + P.Acceleration*Timestep*Timestep;
P.OldPosition = Temp;
}
}上面的代碼，能夠對任意數量的點進行處理。但是單獨的點並沒有什麼實際的意義，除非你在編寫的是一個粒子系統。而在遊戲中，我們常常需要處理的是剛體模擬，所以我們需要將上面的代碼擴展稱爲支持剛體的代碼。在現實世界中，我們知道一個剛體實際上是有很多的點（原子）組成的，他們之間通過各種力的作用相互融合在一起。
當然，我們能夠通過模擬大量的粒子，讓他們以某種方式粘合在一起，以此來近似的模擬剛體的運動。但是，對於這樣的系統，我們要進行非常龐大的計算才能夠實現，對於一個遊戲來說，往往需要大量的剛體，使用這種方式進行模擬完全就不能夠接受。幸運的是，我們只要模擬剛體的幾個頂點就能夠實現類似的效果。比如說，如果我們要模擬一個盒子，那麼我們只需要4個頂點，並且以某種方式粘合他們，然後就成功的模擬出來了。
那麼，現在的問題就是這種將頂點粘合在一起的東西是什麼了？還是考慮前面的盒子，我們已經有了四個頂點，那麼很顯然，這四個頂點之間的距離如果不發生改變，那麼這個剛體就形成了。如果任意兩個頂點之間的距離發生了改變，我們就認爲這個剛體發生了形變，而對於剛體來說這是不可接受的。所以，我們需要找到一個方案，它能夠使各個頂點之間距離保持不變。
在現實世界中，這樣的問題很容易處理，我們只要在這四個頂點之間放置一些杆子，就能夠保證他們之間的距離不發生改變。所以，在我們的程序中，我們也需要創建一些想象中的杆子，來將這四個頂點相互粘合。我們需要保持每兩個頂點之間的距離不發生任何的變化。在每一次的遊戲循環中，我們都需要在進行Position Verlet積分之前，更新這些杆子，從而保證每一個頂點之間的距離沒有發生變化。實際上，這種更新算法非常的簡單。首先，我們要記錄下這些頂點在創建的時候與其他頂點之間的距離。在每一幀的運算裏面，我們計算當前幀裏面，這些頂點之間的距離。然後使用以前記錄的距離和當前的距離進行比較，強制的將當前的距離變換稱爲當初創建時的距離即可。
struct Edge {
Vertex* V1;
Vertex* V2;
float OriginalLength; //The length of the edge when it was created
//Constructors etc. omitted
};
void Physics::UpdateEdges() {
for( int I = 0; I < EdgeCount; I++ ) {
Edge& E = *Edges[ I ];
//Calculate the vector mentioned above
Vec2 V1V2 = E.V2->Position - E.V1->Position;
//Calculate the current distance
float V1V2Length = V1V2.Length();
//Calculate the difference from the original length
float Diff = V1V2Length - E.OriginalLength;
V1V2.Normalize();
//Push both vertices apart by half of the difference respectively
//so the distance between them equals the original length
E.V1->Position += V1V2*Diff*0.5f;
E.V2->Position -= V1V2*Diff*0.5f;
}
}當我們使用上面代碼中創建的Edge結構來鏈接任意兩個頂點，我們就能夠很好的模擬剛體的行爲，並且能夠在碰撞到地面的時候有很好的旋轉效果出現。那麼，爲什麼這樣就能夠實現效果了？我們沒有做什麼特別的事情，只是添加了任意兩個頂點之間的約束關係，然後我們就成功的模擬出剛體的效果來了。而造成這個結果的原因就是我們前面所講述的Position Verlet積分器的功能。還記得我們在前面討論中說到，Position Verlet積分器不直接和Velocity打交道，如果我們改變了頂點的位置，相應的就會改變頂點的速度。而這樣的情況，剛好符合我們對剛體操作的理解，雖然和真實的情況還有點差距，但是對遊戲來說，已經足夠使用了。
老實說，我前面和大家撒了個謊。如果你只是噹噹執行上面的代碼的話，那麼實際得到的結果並不是你所期待的那樣。實際上，當一個剛體碰撞到其他的物體的時候，使用上面的方案來進行的模擬，我們的剛體或多或少都會發生點形變，形變的程度依賴於碰撞之前的速度。爲什麼會這樣了？UpdateEdges算法是正確的，但是，調用一次之後頂點之間的距離還是會發生改變。下圖清晰的表明了這種情況：如果一個頂點被超過一個以上的Edge連接的時候，對一條邊的長度約束會導致其他的邊長度發生改變，而這就是導致物體變形的原因所在：
想要避免這個情況的發生，我們只能夠通過多次的迭代調用前面提到的UpdateEdges函數來儘量減少這種情況的發生。UpdateEdges函數調用的次數越多，我們就越能夠近似的處理這個任務。而這個就給了我們程序員很大的方便，我們可以根據遊戲計算量的分配，來合理的安排到底需要調用幾次這個函數。