題目：某快遞每天能收到成千上萬的物流單，每個物流單的重量不一。 一位貨車司機開着貨車（限載5噸，含5噸，不考慮限高）,想要一次性拿走儘可能重的貨物。
以下是貨物清單：
貨物編號 貨物重量(單位:kg)
1. ————-509
2. ————-838
3. ————-924
4. ————-650
5. ————-604
6. ————-793
7. ————-564
8. ————-651
9. ————-697
10. ————649
11. ————747
12. ————787
13. ————701
14. ————605
15. ————644
輸出運送最接近5000kg時的貨物單號。
01揹包
話說有一哥們去森林裏玩發現了一堆寶石，他數了數，一共有n個。 但他身上能裝寶石的就只有一個揹包，揹包的容量爲C。這哥們把n個寶石排成一排並編上號： 0,1,2,…,n-1。第i個寶石對應的體積和價值分別爲V[i]和W[i] 。排好後這哥們開始思考： 揹包總共也就只能裝下體積爲C的東西，那我要裝下哪些寶石才能讓我獲得最大的利益呢？
OK，如果是你，你會怎麼做？你斬釘截鐵的說：動態規劃啊！恭喜你，答對了。 那麼讓我們來看看，動態規劃中最最最重要的兩個概念： 狀態和狀態轉移方程在這個問題中分別是什麼。
我們要怎樣去定義狀態呢？這個狀態總不能是憑空想象或是從天上掉下來的吧。 爲了方便說明，讓我們先實例化上面的問題。一般遇到n，你就果斷地給n賦予一個很小的數， 比如n=3。然後設揹包容量C=10，三個寶石的體積爲5，4，3，對應的價值爲20，10，12。 對於這個例子，我想智商大於0的人都知道正解應該是把體積爲5和3的寶石裝到揹包裏， 此時對應的價值是20+12=32。接下來，我們把第三個寶石拿走， 同時揹包容量減去第三個寶石的體積（因爲它是裝入揹包的寶石之一）， 於是問題的各參數變爲：n=2，C=7，體積｛5，4｝，價值｛20，10｝。好了， 現在這個問題的解是什麼？我想智商等於0的也解得出了：把體積爲5的寶石放入揹包 （然後剩下體積2，裝不下第二個寶石，只能眼睜睜看着它溜走），此時價值爲20。 這樣一來，我們發現，n=3時，放入揹包的是0號和2號寶石；當n=2時， 我們放入的是0號寶石。這並不是一個偶然，沒錯， 這就是傳說中的“全局最優解包含局部最優解”（n=2是n=3情況的一個局部子問題）。 繞了那麼大的圈子，你可能要問，這都哪跟哪啊？說好的狀態呢？說好的狀態轉移方程呢？ 別急，它們已經呼之欲出了。
我們再把上面的例子理一下。當n=2時，我們要求的是前2個寶石， 裝到體積爲7的揹包裏能達到的最大價值；當n=3時，我們要求的是前3個寶石， 裝到體積爲10的揹包裏能達到的最大價值。有沒有發現它們其實是一個句式！OK， 讓我們形式化地表示一下它們， 定義d(i,j)爲前i個寶石裝到剩餘體積爲j的揹包裏能達到的最大價值。 那麼上面兩句話即爲：d(2, 7)和d(3, 10)。這樣看着真是爽多了， 而這兩個看着很爽的符號就是我們要找的狀態了。 即狀態d(i,j)表示前i個寶石裝到剩餘體積爲j的揹包裏能達到的最大價值。 上面那麼多的文字，用一句話概括就是：根據子問題定義狀態！你找到子問題， 狀態也就浮出水面了。而我們最終要求解的最大價值即爲d(n, C)：前n個寶石 （0,1,2…,n-1）裝入剩餘容量爲C的揹包中的最大價值。狀態好不容易找到了， 狀態轉移方程呢？顧名思義，狀態轉移方程就是描述狀態是怎麼轉移的方程（好廢話！）。 那麼回到例子，d(2, 7)和d(3, 10)是怎麼轉移的？來，我們來說說2號寶石 （記住寶石編號是從0開始的）。從d(2, 7)到d(3, 10)就隔了這個2號寶石。 它有兩種情況，裝或者不裝入揹包。如果裝入，在面對前2個寶石時， 揹包就只剩下體積7來裝它們，而相應的要加上2號寶石的價值12， d(3, 10)=d(2, 10-3)+12=d(2, 7)+12；如果不裝入，體積仍爲10，價值自然不變了， d(3, 10)=d(2, 10)。記住，d(3, 10)表示的是前3個寶石裝入到剩餘體積爲10 的揹包裏能達到的最大價值，既然是最大價值，就有d(3, 10)=max{ d(2, 10), d(2, 7)+12 }。好了，這條方程描述了狀態d(i, j)的一些關係， 沒錯，它就是狀態轉移方程了。把它形式化一下：d(i, j)=max{ d(i-1, j), d(i-1,j-V[i-1]) + W[i-1] }。注意討論前i個寶石裝入揹包的時候， 其實是在考查第i-1個寶石裝不裝入揹包（因爲寶石是從0開始編號的）。至此， 狀態和狀態轉移方程都已經有了。接下來，直接上代碼。
for(int i=0; i<=n; ++i){
for(int j=0; j<=C; ++j){
d[i][j] = i==0 ? 0 : d[i-1][j];
if(i>0 && j>=V[i-1]) d[i][j] >?= d[i-1][j-V[i-1]]+W[i-1];
}
}
i=0時，d(i, j)爲什麼爲0呢？因爲前0個寶石裝入揹包就是沒東西裝入，所以最大價值爲0。 if語句裏，j>=V[i-1]說明只有當揹包剩餘體積j大於等於i-1號寶石的體積時， 我才考慮把它裝進來的情況，不然d[i][j]就直接等於d[i-1][j]。i>0不用說了吧， 前0個寶石裝入揹包的情況是邊界，直接等於0，只有i>0纔有必要討論， 我是裝呢還是不裝呢。(完)
自己的實現(java):
public class Knapsack01 {
public int maxValue(int N,int C,ArrayList<Goods> goods){
int[][] d=new int[N+1][C+1];//狀態d(i,j)表示前i個寶石裝到剩餘體積爲j的揹包裏能達到的最大價值
//兩種狀態 1)不選擇goods[i];2)選擇goods[i],則d[i][j]=max{goods[i].value+d[i-1][j-goods[i].weight],d[i-1][j]}
int i=1,j=1;
for(i=1;i<=N;i++){
for(j=1;j<=C;j++){
if(goods.get(i).weight<=j){
d[i][j]=Math.max(goods.get(i).value+d[i-1][j-goods.get(i).weight],d[i-1][j]);
}
else
d[i][j]=d[i-1][j];
}
}
//打印選擇的Item
int rest_space=C;
for(int m=N;m>=1;m--){
if(rest_space>=goods.get(m).weight){
if(d[m][rest_space]-d[m-1][rest_space-goods.get(m).weight]==goods.get(m).value){
System.out.print(m+"-");
rest_space=rest_space-goods.get(m).weight;
}
}
}
return d[N][C];
}
public ArrayList<Goods> initial(int a[]){
ArrayList<Goods> goods=new ArrayList<>();
goods.add(new Goods(0,0));
for(int i=0;i<a.length;i++)
goods.add(new Goods(a[i], a[i]));
return goods;
}
public static void main(String[] args) {
Knapsack01 ks=new Knapsack01();
int N=15,C=5000;
int a[]={509,838,924,650,604,793,564,651,697,649,747,787,701,605,644};
ArrayList<Goods> goods=ks.initial(a);
int maxValue=ks.maxValue(N, C, goods);
System.out.println(maxValue);
}
private static class Goods{
private int value;
private int weight;
public Goods(int value,int weight) {
this.value=value;
this.weight=weight;
}
}
}