【音頻處理】如何“認識”一個濾波器？

Introduction

對一段音頻信號進行處理，例如添加一個音效，有時候我們要考慮這樣的處理對音頻的影響是什麼？是提高了低頻，還是提高高頻？或者頻率做週期變化？

當然，你完全可以用耳朵來聽，但是這麼做難度太大了，畢竟並不是每個人都有一副金耳朵。即使你的耳朵非常好使，能夠分辨最爲細微的差別，但是你如何用人類能夠理解的方式描述這種區別呢？畢竟並不是每個人都有莫言般的描述能力。

綜上，我們需要一種可以量化的方式來描述”處理“的過程。毋庸置疑，我們只能藉助數學來描述這種複雜過程。這篇文章中，我們將以多個視角來觀察”處理“過程。

一些知識鋪墊

下面介紹一些基礎的信號處理知識，並不會很詳細，都是點到爲止，目的是將整體內容串起來，形成自我閉環。更多深入的介紹，大家有興趣的話找本 dsp 的書來看吧。

信號表示

首先，如何表示一個音頻信號（我們只討論離散信號）？很簡單，我們用一個數組來描述它，一個長度爲 N 的信號，可以表示爲：
$x[0],x[1],...,x[N-1] \tag{1}$
我們稱 x[n] 爲離散時間序列

單位脈衝信號

它的數學表示是這樣的：
$\delta(n)= \begin{cases} 1& \text{n = 0} \\ 0& \text{otherwise} \end{cases} \tag{2}$
也就是長這樣：$\delta(n) = [1,0,0,0,...,0]$

線性時不變濾波器

所謂濾波器，其實就是對信號”操作“：一個信號，經過濾波器，變成了另一個信號。我們這裏關注的是線性時不變(Linearity and time-invariance; LTI)濾波器。LTI濾波器應用廣泛，是濾波器家族中最爲壯大的一簇。我們可以差分方程來表示一個 LTI 濾波器：
$y[n] = b_0x[n] + b_1x[n-1] + ... + b_nx[n-N]- a_1y[n-1] - ... a_My[n-M] \tag{3}$
其中 x 爲輸入序列，y爲輸出序列。$b_0,...,b_N$和$a_0,...,a_N$ 爲係數。

脈衝響應

將單位脈衝信號輸入到一個 LTI 濾波器中得到的結果，我們稱之爲脈衝響應，通常表示爲$h(n)$

卷積

信號$x(n)$經過 LTI 濾波器後得到 $y(n)$，這個過程可以表示爲脈衝響應$h(n)$與$x(n)$的卷積：
$y(n) = (h*x)(n) \tag{4}$

Z 變換

接下來我們介紹下 Z 變換，它非常重要。

Z變換可將離散時間序列變換爲在複頻域的表達式。額…好吧，前面那句話是百度百科抄的，對於那些從沒有接觸過 Z 變換的同學而言，這句話簡直了。我們還是通過具體的例子，從感性的角度來理解下它。

Z變換的公式很簡單的，如下：
$X(z) = \sum_{n=0}^{\infty}x[n]z^{-n} \tag{5}$

舉個例子，離散時間序列爲：x[0]=1, x[1]=2, x[2]=3，那麼：
$X(z) = 1 + 2z^{-1} + 3z^{-2} = 1 + 2z^{-1} + 3(z^{-1})^2$

通過 Z變換，我們將一組序列（N個值）轉換爲一個關於z的表達式(一個值)。
Z變換可以看成是線性變換，就比如上面的例子，可以改寫爲兩個向量相乘：
$\begin{bmatrix} 1 & z^{-1} & z^{-2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1\\ 2\\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 + 2z^{-1} + 3(z^{-1})^2 \end{bmatrix}$

關於 Z變換有一個重要的性質，卷積。兩個信號在時域上做卷積，等於在 z變換域中相乘
$x_0[n]*x_1[n] = X_0(z)X_1(z) \tag{6}$

在前面提到，信號經過濾波器可以表示爲卷積過程(5)，那麼對$y(n)$進行Z變化得到：
$Y(z)=H(z)X(z) \tag{7}$
從這個公式的角度來看，$Y(z)$其實是$X(z)$進行了一次線性變換得到的，其中 $H(z)$ 被我們成爲 傳遞函數(Transfer function; TF)
$H(z)=\frac{Y(z)}{X(z)} \tag{8}$
上面的公式同時表明，脈衝響應$h(n)$的Z變化 等於 轉換方程 $H(z)=Y(z)/X(z)$。這也是求 $h(n)$ 的一種方法，通過計算 $H(z)$，然後做 z變換的逆變換，求得 $h(n)$

關於 Z 變換還有一些性質我們需要掌握：
$Z\{x_1[n] + x_2[n]\} = Z\{x_1[n]\} + Z\{x_2[n]\} = X_1(z) + X_2(z) \tag{9}$

$Z\{ax[n]\} = aZ\{x[n]\} = aX(z) \tag{10}$

$\begin{aligned} Z\{x[n-1]\} &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n-1]z^{-n} \\ &= z^{-1}\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n-1]z^{-(n-1)} \\ &= z^{-1}Z\{x[n]\} = z^{-1}X(z) \end{aligned} \tag{11}$

因此對於一個 LTI 濾波器(3)，我們對其進行 Z變換得到：
$Y(z) = b_0X(z) + b_1z^{-1}X(z) + ... + b_nz^{-N}X(z)- a_1z^{-1}Y(Z) - ... a_Mz^{-M}Y(z) \tag{12}$

合併同類項得:
$(1+a_1z^{-1}+\dots+a_Mz^{-M})Y(z) = (b_0+b_1z^{-1}+\dots+b_nz^{-N})X(z)$

如果 $M\ne N$，我們添加一些 0 係數進去，讓左右兩邊的個數一直。

可得傳遞方程 $H(z)$:
$H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} = \frac{b_0+b_1z^{-1}+\dots+b_nz^{-N}}{1+a_1z^{-1}+\dots+a_Nz^{-N}} \tag{13}$

多角度描述一個濾波器

差分方程 Difference equation

如公式(3)，這就是差分方程。讓我們舉兩個例子來感受下它。

$y[n] = x[n] + 0.5y[n-1] \tag{14}$
和
$y[n] = x[n] + 2y[n-1] \tag{15}$

將一個脈衝信號輸入至 (14) 中，可得脈衝響應$h(n) = 1,0.5,0.25,\dots$，$h(n)$的值逐漸接近 0，我們這樣的濾波器是穩定的。

將一個脈衝信號輸入至 (15) 中，可得脈衝響應$h(n) = 1,2,4,8\dots$，$h(n)$的值逐漸無窮大,我們稱這樣的濾波器是不穩定的。

塊狀圖 Block diagram

有時候用圖形的形式來展示濾波器更加符合人類的認知過程，以公式(3)爲例，它的塊磚圖如下：

好吧，它看起比較複雜，我們看一個簡單的例子，延遲信號：
$y[n] = x[n] + gx[n-N]$
它的塊狀圖如下：

脈衝響應 Impulse response

正如前面提到的那樣，將一個脈衝信號（公式(3)）輸入至濾波器中，然後觀察輸出，就能得到脈衝響應。

例如有個濾波器爲：
$y(n) = x(n) + 0.5^3x(n-3) - 0.9^5y(n-5) \tag{16}$

你可以用下面這段 MATLAB 代碼來畫出該濾波器的脈衝響應

g1 = 0.5^3;  B = [1 0 0 g1];      % Feedforward coeffs
g2 = 0.9^5;  A = [1 0 0 0 0 g2];  % Feedback coefficients

h = filter(B,A,[1,zeros(1,50)]);  % Impulse response
% h = impz(B,A,50); % alternative in octave-forge or MSPTB

% Matlab-compatible plot:
clf; figure(1); stem([0:50],h,'-k'); axis([0 50 -0.8 1.1]);
ylabel('Amplitude'); xlabel('Time (samples)'); grid;

當然，我們還有更爲精確的計算 $h(n)$ 的方法：對$h(n)$ 進行 z變換可以得到傳遞函數 $H(z)$，因此對 $H(z)$ 做逆 z變化得到 $h(n)$。

$H(z)$可以通過公式(13)得到，相當的容易。逆 z變換我還沒學會，所以沒法和大家解釋了。但是我們可以來驗證$h(n)$的z變換就是公式(13)的結果。

對公式(16)做z變換，得到傳遞方程：
$H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} = \frac{1+0.5^3z^{-3}}{1+0.9^5z^{-5}}$

取 $z=2$，可得 $H(z) = \frac{1+0.5^32^{-3}}{1+0.9^52^{-5}} = 0.9972$

然後我們在代碼中計算 H(z) 的值，也是得到 0.9972，完全一致。

g1 = 0.5^3;  B = [1 0 0 g1];      % Feedforward coeffs
g2 = 0.9^5;  A = [1 0 0 0 0 g2];  % Feedback coefficients

h = filter(B,A,[1,zeros(1,50)]);  % Impulse response
z_value = 2;                      % z = 2
z = zeros(1,length(h)) + z_value; 
Z = z.^-(0:length(h)-1);
HZ = h*Z';                        %計算 H(z)，結果爲 0.9972

傳遞方程 Transfer function

傳遞方程已經在上面說過了，對 $h(n)$ 做z變換可以得到，也可用公式(13)得到。在分析 LTI 濾波器時，傳遞方程是一種重要的方法。

極點、零點及增益 Poles zeros gain

我們對公式(13)上下同時乘上 $z^N$，得到一組多項式，並因式分解
$\begin{aligned} H(z) &= \frac{b_0z^{N}+b_1z^{N-1}+\dots+b_n}{z^N+a_1z^{N-1}+\dots+a_N} \\ &= g\frac{(z-q_1)(z-q_2)\dots(z-q_N)}{(z-p_1)(z-p_2)\dots(z-p_N)} \end{aligned} \tag{17}$

我們稱 $g$ 爲 增益(Gain)

我們稱 $p_1,\dots,p_N$ 爲極點(Poles)，當 $z\in{p}$，$H(z) = \infty$

我們稱 $q_1,\dots,q_N$ 爲 零點(Zeros)，當 $z\in{q}$，$H(z)=0$

我們將所有極點和零點畫在一個複平面上，如果所有極點都在單位圓內，那麼濾波器是穩定的；如果所有零點在單位圓內，那麼我們稱這個濾波器是最小相位濾波器。

頻譜響應 Frequency Response

頻譜響應指的是，信號經過濾波器後，在頻域發生的變化，定義爲：輸出信號的頻譜除以輸入信號的頻譜

一個信號經過傅里葉變化(DTFT)便可以得到其頻譜信息：
$DTFT_{\omega(x)} = \sum_{n=0}^{\infty}x(n)e^{-j\omega Tn}$

你看DTFT是不是很像 z變換？公式(5)中 $z=e^{j\omega T}$，那麼就完美對應上了 DTFT。
又有 $Y(z)=H(z)X(z)$，因此得到：
$Y(e^{j\omega T}) = H(e^{j\omega T})X(e^{j\omega T})$

那麼頻譜響應其實就是
$H(e^{j\omega T}) = \frac{Y(e^{j\omega T}) }{X(e^{j\omega T})}$

其中 $T=f/f_s$，其中$f$爲信號頻率其範圍在 $(0, f_s/2)$，因此 $\omega T \in (0, \pi)$

頻譜響應又分 幅度響應（Amplitude response） 和 相位響應（Phase response）

幅度響應其實就是 $\vert H(e^{j\omega T})\vert $，取個絕對值就ok了。幅度響應能夠說明濾波器對每個頻率幅度的影響。

相位響應其實就是 $\angle H(e^{j\omega T})$，它說明了濾波器對每個頻率相位的影響

實際的例子

千言萬語不如一個實際的例子，假設我們有這樣一個濾波器：
$y[n] = 4x[n]-4x[n-1] + x[n-2] - y[n-1] - y[n-2]/2$

做z變換的：
$Y(z) = 4X(z) - 4X(z)z^{-1} + X(z)z^{-2} - Y(z)z^{-1} - Y(z)z^{-2}/2$
計算傳遞方程：
$H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} = \frac{4z^2-4z+1}{z^2+z+1/2}$

做因式分解
$H(z) = \frac{4(z-1/2)(z-1/2)}{(z-\frac{-1+j}{2})(z-\frac{-1-j}{2})}$

得到兩個極點: $(-1+j)$ 和 $(-1-j)$

得到兩個零點，它們都在 $\frac{1}{2}$，將它們畫在複平面上，可以發現所有極點都在單位圓內，因此這個濾波器是穩定的；所有零點都在單位圓內，因此它是最小相位的

當$z=e^{j\omega T}$時，且$\omega T\in (0, \pi)$，計算其幅度響應和相位響應，直接上代碼計算：

w = 0:0.001:pi;
E = exp(1j*w);

Hz = (4*(E.^2) - 4*E + 1) ./ ((E.^2) + E + 0.5);

amplitude_Hz = abs(Hz);
phase_Hz = angle(Hz);

figure(1);
plot(20*log10(amplitude_Hz));

figure(2);
plot(phase_Hz*180/pi);

其結果大概長這樣：

從圖可以看出，這個濾波器抑制信號中的低頻信息，增益高頻信息。在 $0.785\pi$（在 44.1kHz 採樣率下爲 17.3kHz）增益最大。
對於特別高和特別低的頻率信息，這個濾波器在相位上只有很小的影響。但是在 $0.5\pi$（在 44.1kHz 採樣率下爲 11.025kHz）處，其相位信息偏移了 116度

總結

本文介紹了多種方式來認識一個濾波器，

• 差分方程
• 塊狀圖
• 脈衝響應
• 傳遞方程
• 極點、零點和增益
• 頻譜響應

並列舉相關例子，讓大家有更爲深入的理解和體會。

轉載請註明出處 https://blog.csdn.net/weiwei9363/article/details/104950007