從零實現3D圖像引擎：(5)3D座標系函數庫

1. 數學分析

1) 2D笛卡爾座標系與2D極座標系

2D笛卡爾座標系就是平面直角座標系，不說了。

2D極座標系，是用方向和距離來定義2D空間中的點，而非x,y座標，如下圖：

其中極座標的參數用紅色表示，笛卡爾座標的參數用藍色字表示。

非常顯而易見，他們之間的轉換關係如下：

x = r * cos(theta)

y = r * sin(theta)

r = sqrt(x2 + y2)

theta = arctg(y/x)

 

2) 3D笛卡爾座標系

在2D笛卡爾座標系上增加了Z軸，形成3D笛卡爾座標系。分爲左手座標系和右手座標系。區分方法：用左手握住Z軸，大拇指伸直，其他四指的指尖方向從X軸轉向Y軸，如果大拇指的指向是Z的正半軸，則爲左手座標系，反之爲右手。

 

3) 3D柱面座標系

3D柱面座標系和2D的極座標系對應，只是在2D極座標系上增加了一條Z軸，所以3D笛卡爾座標系與3D柱面座標系的轉換也非常簡單：x和y以及r和theta都不變，只增加了Z座標而已。3D柱面座標系的表示方式是：P(r, theta, z)。

 

4) 3D球面座標系

這個是3D座標系中最複雜的，用P(p, phi, theta)表示。其中p是點P到原點的距離，phi是原點到點P的直線與正Z軸的夾角，theta是原點到點P的線段在X-Y平面上的投影與X軸之間的夾角，其實正好是極座標theta。由於比較複雜，如圖所示：

現在可以推導一下(p,phi,theta)與(x,y,z)的關係了。

由圖上可以得知:

OP在X-Y平面上的投影長度r = sqrt(x2+y2)

p = sqrt(x2+y2+z2)

Sin(phi) = r / p,所以

phi = arcsin(r / p)

tg(theta) = y / x

theta = arctg(y/x)

 

從p,phi,theta如何得到x,y,z呢：

r = p * Sin(phi)

x = r * Cos(theta)

y = r * Sin(theta)

z = p * Cos(phi)

代入整理得：

x = p * Sin(phi) * Cos(theta)

y = p * Sin(phi) * Sin(theta)

z = p * Cos(phi)

 

弄清楚了上面的關係，就可以建立這些座標系下點的數據結構，以及轉換函數了。

 

2. 代碼實現

1) 結構體定義

// 類型聲明 typedef struct POINT2D_TYPE // 2D笛卡爾座標 { double x; double y; } POINT2D, *POINT2D_PTR; typedef struct POINT3D_TYPE // 3D笛卡爾座標 { double x; double y; double z; } POINT3D, *POINT3D_PTR; typedef struct POLAR2D_TYPE // 2D極座標 { double r; double theta; } POLAR2D, *POLAR2D_PTR; typedef struct CYLINDRICAL3D_TYPE // 3D柱面座標 { double r; double theta; double z; } CYLINDRICAL3D, *CYLINDRICAL3D_PTR; typedef struct SPHERICAL3D_TYPE { double p; double phi; double theta; } SPHERICAL3D, *SPHERICAL_PTR;

 

2) 轉換函數定義

void _CPPYIN_Math::CooTransPOINT2DtoPOLAR2D(POINT2D_PTR point2d, POLAR2D_PTR polar2d) { polar2d->r = sqrt((point2d->x * point2d->x) + (point2d->y * point2d->y)); polar2d->theta = atan((point2d->y) / (point2d->x)); } void _CPPYIN_Math::CooTransPOLAR2DtoPOINT2D(POLAR2D_PTR polar2d, POINT2D_PTR point2d) { point2d->x = polar2d->r * cos(polar2d->theta); point2d->y = polar2d->r * sin(polar2d->theta); } void _CPPYIN_Math::CooTransPOINT3DtoCYLINDRICAL3D(POINT3D_PTR point3d, CYLINDRICAL3D_PTR cylindrical3d) { cylindrical3d->r = sqrt((point3d->x * point3d->x) + (point3d->y * point3d->y)); cylindrical3d->theta = atan((point3d->y) / (point3d->x)); cylindrical3d->z = point3d->z; } void _CPPYIN_Math::CooTransCYLINDRICAL3DtoPOINT3D(CYLINDRICAL3D_PTR cylindrical3d, POINT3D_PTR point3d) { point3d->x = cylindrical3d->r * cos(cylindrical3d->theta); point3d->y = cylindrical3d->r * sin(cylindrical3d->theta); point3d->z = cylindrical3d->z; } void _CPPYIN_Math::CooTransPOINT3DtoSPHERICAL3D(POINT3D_PTR point3d, SPHERICAL3D_PTR spherical3d) { spherical3d->p = sqrt((point3d->x * point3d->x) + (point3d->y * point3d->y) + (point3d->z * point3d->z)); double r = sqrt((point3d->x * point3d->x) + (point3d->y * point3d->y)); spherical3d->phi = asin(r / spherical3d->p); spherical3d->theta = atan(point3d->y / point3d->x); } void _CPPYIN_Math::CooTransSPHERICAL3DtoPOINT3D(SPHERICAL3D_PTR spherical3d, POINT3D_PTR point3d) { double r = spherical3d->p * sin(spherical3d->phi); point3d->x = r * cos(spherical3d->theta); point3d->y = r * sin(spherical3d->theta); point3d->z = spherical3d->p * cos(spherical3d->phi); }

沒什麼可說的，全是套上面推出來的公式而已。

 

 

3. 代碼下載

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