相信我們很多人都會遇到過建模倒立擺的情況。倒立擺是控制系統領域中一個很基本但又很實用的問題。很多基本的控制邏輯和實現都可以通過倒立擺模型表示出來。但是，在網上搜索資料良莠不齊，而去參考論文又晦澀難懂。所以，我自己經過推導和驗證，把一階倒立擺的模型給寫出來，供大家參考和學習。
杆重心的水平位置：
杆重心的豎直位置：
杆的水平受力：
杆的豎直受力分析：
杆的轉動方程：
小車的受力分析：
聯立後四個式子，得到動態方程:
在θ=0附近，可以線性化，sinθ=θ，cosθ=1
化簡得
寫成標準的系統形式
在不加控制u的情況下，特徵多項式
由於
中，
是正數，所以λ
有值爲正數的根。因爲A並不所有的特徵值實部都小於0，所以系統是不穩定的。
同時，我們可以分析系統的可控性。如果系統是可控的，那麼令
，若rank(C0 )=4，那麼系統就是可控的。
我們設A中
B中
那麼，可以推導得到
，若rank(C0 )=4，則C0可逆，行列式不爲0
行列式
而且我們知道
，所以等號不成立，所以行列式不爲0，系統可控。
而至於具體的控制算法，那就很多種多樣了，要用什麼樣的算法做控制，留作日後再繼續探討。