2016湖南省省賽-K：蓋房子（單調棧）

鏈接：https://ac.nowcoder.com/acm/contest/1112/K

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Special Judge, 64bit IO Format: %lld
題目描述
Bobo 在 ICPCCamp 買了一塊 $n×m$ 的土地，其中有些格子是障礙。
他想選擇兩個矩形區域，建造兩座房子。
很明顯，用於蓋房子的區域不能包含障礙。同時，兩個區域不能相交（但是可以相鄰）。
Bobo 想知道所有可能不同方案的數量除以 $(10^9 + 7)$ 的餘數。

輸入描述:
輸入包含不超過 10 組數據。
每組數據的第一行包含兩個整數 $n, m (1 \leq n, m \leq 10^3).$
接下來 n 行中的第 i 行包含一個長度爲 m 的字符串 $s_i$ 。
$s_i$ 的第 j 位是 0 則表示第 i 行第 j 列的格子是空地，是 1 則表示該格子是障礙。

輸出描述:
對於每組數據，輸出一個整數表示所求的值。

示例1
輸入
2 2
00
01
輸出
5
示例2
輸入
3 4
1000
0001
0100
輸出
160

思路:
首先利用單調棧求出
$A[i][j](右下角位於(i,j)的矩形個數)$，$B[i][j](右上角位於(i,j)的矩形個數)$，$C[i][j](左下角位於(i,j)的矩形個數)$，$D[i][j](左上角位於(i,j)的矩形個數)$。
我們枚舉所有矩形的左上角（如圖中藍色矩形），即每個$D[i][j]$。

那麼位於圖中黑色和黃色矩陣所處位置的矩形一定不會與左上角在$(i,j)$的矩形相交，因爲該區域的矩形的右下角都是在$(i,j)$覆蓋範圍之外的。

那麼對於左上角在$(i,j)$的$D[i][j]$個矩形，其對答案的貢獻爲$D[i][j]*\sum_{x<i||y<j}^{}A[x][y]$。

但是這樣會產生重複，如圖中的黃色和藍色矩形，他們之間的貢獻會被算2次，這時需要去重。

枚舉每個左下角在$(i,j)$的矩形，即$C[i][j]$，其所產生的重複爲$C[i][j]*\sum_{x>i\&\&y<j}B[x][y]$。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAX=1e3+10;
const int MOD=1e9+7;
typedef long long ll;
char s[MAX][MAX];
int A[MAX][MAX];
int B[MAX][MAX];
int C[MAX][MAX];
int p[MAX];
stack<pair<int,int> >q;
void solve(int n,int m)//計算A[i][j] B[i][j] C[i][j]
{
    memset(p,0,sizeof p);
    memset(A,0,sizeof A);
    memset(B,0,sizeof B);
    memset(C,0,sizeof C);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        while(!q.empty())q.pop();
        q.push({0,i});
        int ans=0;
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            if(s[i][j]=='1')p[j]=i;
            while(!q.empty()&&q.top().second<p[j])
            {
                pair<int,int>now=q.top();q.pop();
                ans-=(now.first-q.top().first)*(i-now.second);
                ans=(ans%MOD+MOD)%MOD;
            }
            (ans+=(j-q.top().first)*(i-p[j]))%=MOD;
            q.push({j,p[j]});
            A[i][j]=ans;
            A[i][j]+=((A[i][j-1]+A[i-1][j]-A[i-1][j-1])%MOD+MOD)%MOD;
            A[i][j]%=MOD;
        }
    }
    memset(p,0,sizeof p);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        while(!q.empty())q.pop();
        q.push({m+1,i});
        int ans=0;
        for(int j=m;j>=1;j--)
        {
            if(s[i][j]=='1')p[j]=i;
            while(!q.empty()&&q.top().second<p[j])
            {
                pair<int,int>now=q.top();q.pop();
                ans-=(now.first-q.top().first)*(now.second-i);
                ans=(ans%MOD+MOD)%MOD;
            }
            (ans+=(j-q.top().first)*(p[j]-i))%=MOD;
            q.push({j,p[j]});
            C[i][j]=ans;
        }
    }
    for(int i=1;i<=m;i++)p[i]=n+1;
    for(int i=n;i>=1;i--)
    {
        while(!q.empty())q.pop();
        q.push({0,i});
        int ans=0;
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            if(s[i][j]=='1')p[j]=i;
            while(!q.empty()&&q.top().second>p[j])
            {
                pair<int,int>now=q.top();q.pop();
                ans-=(now.first-q.top().first)*(now.second-i);
                ans=(ans%MOD+MOD)%MOD;
            }
            (ans+=(j-q.top().first)*(p[j]-i))%=MOD;
            q.push({j,p[j]});
            B[i][j]=ans;
            B[i][j]+=((B[i][j-1]+B[i+1][j]-B[i+1][j-1])%MOD+MOD)%MOD;
            B[i][j]%=MOD;
        }
    }
}
int main()
{
    int n,m;
    while(cin>>n>>m)
    {
        for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%s",s[i]+1);
        solve(n,m);
        for(int i=1;i<=m;i++)p[i]=n+1;
        ll tot=0;
        for(int i=n;i>=1;i--)//計算D[i][j]的同時，計算貢獻
        {
            while(!q.empty())q.pop();
            q.push({m+1,i});
            int ans=0;
            for(int j=m;j>=1;j--)
            {
                if(s[i][j]=='1')p[j]=i;
                while(!q.empty()&&q.top().second>p[j])
                {
                    pair<int,int>now=q.top();q.pop();
                    ans-=(now.first-q.top().first)*(i-now.second);
                    ans=(ans%MOD+MOD)%MOD;
                }
                (ans+=(j-q.top().first)*(i-p[j]))%=MOD;
                q.push({j,p[j]});
                tot+=1ll*(A[n][j-1]+A[i-1][m]-A[i-1][j-1])%MOD*ans%MOD;
                tot=(tot%MOD+MOD)%MOD;
            }
        }
        for(int i=1;i<=n;i++)//去重
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            tot-=1ll*C[i][j]*B[i+1][j-1]%MOD;
            tot=(tot%MOD+MOD)%MOD;
        }
        printf("%lld\n",tot);
    }
    return 0;
}