codeforces 623D

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題目大意

給定n≤100 個人，每輪隨機選取一個人，每個人被選的概率爲pi(精度爲0.01),∑pi=1 ,遊戲結束當且僅當每個人被抓住一次或以上，問，在最優策略下，期望結束輪數是多少，要求答案精度爲10−6 。

解題思路

設fi,j 表示第i 輪結束之後，第j 個人被抓過的概率。

設gi 表示第i 輪結束之後，所有人都被抓過的概率。
顯然gi=∏nj=1fi,j .

∵Ans=∑+∞i=1i∗(gi−gi−1)
∴ 最優策略就是，儘量使得i 較小時，gi−gi−1 較大。

先看看fi,j 和fi−1,j 的關係。
1)fi,j=fi−1,j ,第i 輪不選j .
2)fi,j=fi−1,j+(1−fi−1,j)∗pj ,第i 輪選j .

∴gi=gi−1∗fi,j/fi−1,j
只要求fi,j/fi−1,j 最大即可，這個可以枚舉，或者用數據結構維護。

其實3∗105 輪過後答案就不會再有大於10−6 的誤差了。

誤差分析

gt≥ (1−0.99t/100)100 ≥1−100⋅0.99t / 100.
∑+∞t=N+11−gt≤100∗∑+∞t=N+10.99t/100 .
所以大概3∗105 次運算之後答案就精準了。

參考代碼

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define fd(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
#define maxn 105
#define lim 300000
#define ld long double
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define eps 1e-15
using namespace std;

ld f[2][maxn];

ld g[2],ans;

ld p[maxn];

int n;

int main(){
    scanf("%d",&n);
    fo(i,1,n) {
        cin>>p[i];
        p[i]/=100;
    }
    int last=0,now=1;
    fo(i,1,lim) {
        last^=1;
        now^=1;
        ld best=0;
        int w=0;
        fo(j,1,n) {
            ld thi=(1-f[last][j])*p[j]/f[last][j];
            if (thi>best) {
                best=thi;
                w=j;
            }
        }
        fo(j,1,n) {
            if (j==w) {
                f[now][j]=f[last][j]+(1-f[last][j])*p[j];
            }
            else {
                f[now][j]=f[last][j];
            }
        }
        if (f[last][w]<eps) {
            g[now]=1;
            fo(j,1,n) g[now]=g[now]*f[now][j];
        }
        else g[now]=g[last]*f[now][w]/f[last][w];
        ans=ans+(g[now]-g[last])*i;
    }
    double pri=ans;
    printf("%.16lf",pri);
    return 0;
}