最大權閉合圖及最大密度子圖

最大權閉合圖

例題：GDKOI2016D1T3尋寶

描述：求一個點集，使得點集中的任意後繼也在點集中，求點集的∑wi/∑vi 最大。
這道題就是一個最大權閉合圖。首先二分答案，對於當前的答案p ,我們這樣連邊。

對於一對依賴關係(u,v) ，表示v 是u 的後繼，那麼我們就連(u,v,∞) ,設當前點權爲fi，fi=p∗vi−wi ,若fi>0 ,連接(S,i,fi) ,若fi<0 ,連接(i,T,−fi) ,當前是否可行就是∑fi,(fi>0)−mincut 是否大於0。

最大密度子圖

定義一個無向圖G=(V,E) 的密度D 爲該圖的邊數E 與該圖的點數V 的比值,D=|E||V| .
我們可以轉化一下圖，把一條邊看做一個點，點權爲二分的密度p 的相反數−p ,而原圖的每個點的點權爲1 ,然後再連單向邊E→u,E→v ,表示u,v 是E 的後繼，也就是說我們可以轉換成最大權閉合圖。

例題 【湖北省隊互測day6】Asiram

題目描述

Asiram 是個可愛的男孩子, 而現在, 他想給他的妹子Ecila 買製作人偶的材料.

這時候, 他發現, 在可選的n 種材料之中, 兩種材料之間的搭配, 有的會顯得很漂亮, 而有的就顯得不那麼漂亮, 還有的不影響總體的美觀程度.

爲了量化兩種材料之間的搭配的漂亮程度,Asiram 設置了一個“美觀度”. 同時, 每種材料還有一定的價格,Asiram 並不是想用有限的金錢去實現儘量大的美觀度, 而是希望他的每一分錢都能帶來儘量大的美觀度, 即,使美觀度與花費的比值儘量大.

輸入格式

輸入第一行爲兩個整數n 和m

下面1 行, 有n 個整數, 第i 個數爲材料i 的價格wi

再下面m 行, 每行三個整數a; b; v, 即材料a 與材料b 的搭配能帶來v 的美觀度

輸出格式

一行一個浮點數, 表示美觀度與價格的比值的最大值, 當你的輸出與標答之間的相對誤差小於10^ – 6 時即被判爲正確.

樣例輸入

5 6

1 1 1 1 1

1 2 1

1 4 1

2 3 1

2 4 1

3 4 1

3 5 1

2.5

樣例輸出

1.25000000

樣例解釋

購買材料1,2,3,4 製作人偶是一種最優方案, 花費4 而能帶來5 的美觀度, 比值爲1.25.

數據範圍

對於10% 的數據,n<=5,1<=m<=10

對於40% 的數據,n<=50,1<=m<=500

對於100% 的數據,n<=500,1<=m<=5000,0 < wi,vi<=100

這道題就是一個最大密度子圖的模版，但是這個圖是有點權、邊權的。

但其實連邊方式差不多。(S,E,wE),(wE,u,∞),(wE,v,∞),(u,T,vu∗p) .最後求一下∑wE−mincut 是否大於0就行了。