每天一道算法題（九）---- 變態跳臺階

題目描述

一隻青蛙一次可以跳上1級臺階，也可以跳上2級……它也可以跳上n級。求該青蛙跳上一個n級的臺階總共有多少種跳法。

時間限制：1秒 空間限制：32768K 熱度指數：350775

解題思路：這道題是上一道題目的變形，但是這次這隻青蛙是蛙中之王，一次能跳x個臺階(x <= n)

思路一：上網搜了一下思路，和上一題的思想一樣，也可以用逆推的思路去想，跳n級臺階，可以從n-1級跳上來，也可以從n-2級跳上來，從n-3級跳上來，依次下去，從第1級跳上去，或直接跳上去，所以，跳n級臺階的方法數相當於其它所有臺階數的方法的總和再加上從0級跳上去，表達式爲 f(n) = f(n-1) + f(n-2) +...+ f(2) + f(1) + 1。我們列出一些式子看一看：

（1）f(n) =1;

  (2)  f(2)  = f(1) + 1;

  (3)  f(3)  = f(2) + f(1) + 1;

  (4)  f(4)  = f(3) + f(2) + f(1) + 1;

  (5)  f(n)  = f(n-1) + f(n-2) + f(n-3) ..... + 1;

然後得到式子： f(n) - f(n-1) = f(n-1)     ==>  f(n) = 2*f(n-1);

代碼如下：

public class Solution {
    public int JumpFloorII(int target) {  
        if (target <= 0) {
            return 0;
        } else if (target == 1) {
            return 1;
        } else {
            return pow(2, target);
            return 2 * JumpFloorII(target - 1);
        }
    }
}

思路二：這個思路是我問一個大一的學妹這道題，她並非計算機專業，不懂得編程，但是她給的答案卻令我驚訝。她思考了一會，說這不就是一個排列組合中的隔板法嗎？我愣了一下，隔板法！不懂的朋友可以翻一翻高中的書，或者上網搜一搜隔板法的數學公式。即把n個臺階看做n個元素，每一次跳躍可以跳x（x <=n）個臺階，這就相當於使用k（k∈[0，n-1] ）個隔板將臺階分爲一撥一撥，此時總的隔板插法就等於青蛙跳法的總和。