時間序列相關知識

1 基本概念

• 時間序列（times series）：同一現象在不同時間上的相繼觀察值排列而成的序列。
• 平穩序列（stationary series）：基本上不存在趨勢的序列
• 非平穩序列（non-stationary series）：包含趨勢、季節性和週期性的序列，可能只含其中一種成分，也可能是其中幾種成分的組合
• 趨勢（trend）：時間序列在長時期內呈現出來的某種持續上升或持續下降的變動，也稱長期趨勢。
• 季節性（seasonality） 也稱季節變動（seasonal fluctuation）：是時間序列在一年內重複出現的週期性波動。
• 週期性（cyclicity） 也稱循環波動（cyclical fluctuation）： 是時間序列中呈現出來的圍繞長期趨勢的一種波浪形或振盪式變動。

2 平穩序列的預測

平穩時間序列的預測方法有：簡單平均法、移動平均法和指數平滑法

• 簡單平均法：根據已有的 t 期觀察值通過簡單平均來預測下一期的數值。

  設時間序列已有的 t 期觀察值爲 Y1,Y2,…,Yt，則 t+1 期的預測值 Ft+1 爲：

  $F_{t+1}=\frac{1}{t}\left(Y_{1}+Y_{2}+\cdots+Y_{t}\right)=\frac{1}{t} \sum_{i=1}^{t} Y_{i}$

  則 t+2 期的預測值 Ft+2 爲：

  $F_{t+2}=\frac{1}{t+1}\left(Y_{1}+Y_{2}+\cdots+Y_{t+1}\right)=\frac{1}{t+1} \sum_{i=1}^{t+1} Y_{i}$

• 移動平均法：通過對時間序列逐期遞移求得平均數作爲預測值的一種預測方法，有簡單移動平均法和加權移動平均法。

  簡單移動平均是將最近的 k 期數據加以平均，作爲下一期的預測值。設移動間隔爲 k (1<k<t)，則 t+1 期的簡單移動平均值爲:

  $F_{t+1}=\bar{Y}_{t}=\frac{Y_{t-k+1}+Y_{t-k+2}+\cdots+Y_{t-1}+Y_{t}}{k}$

  t+2 期的簡單移動平均值爲:

  $F_{t+2}=\bar{Y}_{t+1}=\frac{Y_{t-k+2}+Y_{t-k+3}+\cdots+Y_{t}+Y_{t+1}}{k}$

• 指數平滑法：通過對過去的觀察值加權平均進行預測的一種方法，該方法使 t+1 期的預測值等於 t 期的實際觀察值與 t 期的預測值的加權平均值。指數平滑法是加權平均的一種特殊形式，觀察值時間越遠，其權數也跟着呈現指數下降，因而稱爲指數平滑。指數平滑法有一次指數平滑法、二次指數平滑法、三次指數平滑法等。

  一次指數平滑法：將一段時期的預測值與觀察值的線性組合作爲 t+1 期的預測值：

  $F_{t+1}=\alpha Y_{t}+(1-\alpha) F_{t}$

  式中，Y 爲 t 期的實際觀察值; F 爲 t 期的預測值; a 爲平滑係數(0<a<1)。

3 趨勢性序列的預測