算法設計--整數劃分問題

整數劃分問題：
將正整數n表示成一系列正整數之和：n=n1+n2+…+nk，其中n1≥n2≥…≥nk≥1，k≥1。正整數n的這種表示稱爲正整數n的劃分。求正整數n的不同劃分個數。

算法分析：
根據n和m的關係，可以考慮下面幾種情況：
（1）當n = 1時，不管m的值爲多少（m > 0），只有一種劃分即 { 1 }。
（2）當m = 1 時，不管n的值爲多少，只有一種劃分即n個1，{1,1,1,1…..1}。
（3）當n = m 時，根據劃分中是否包含n，可以劃分兩種情況：
（a）劃分中包含n的情況，只有一個，即{ n }。
（b）劃分中不包含n的情況，這時候劃分中最大的數字也一定比n小，及n的所有n-1劃分，因此可以用遞歸來解決f(n,n) = f(n,n-1)+1.
（4）當n < m 時，由於劃分中不可能出現負數，（n最多也就是n個1，因此不可能出現m個劃分相加，不可能出現負數）因此相當於f(n,n) 。
（5）當n > m 時，根據劃分中是否包含最大值m，可劃分爲兩種情況：
（a）劃分中包含m的情況，即{m, {x1,x2,…xi}}其中{x1,x2,….xi}的和位n – m，可能再次出現m， 因此是（n - m）的m劃分，因此這種劃分個數爲f（n – m,m）
（b）劃分中不包含m的情況，則劃分中所有值都比m小，即n的（m - 1）劃分，個數爲f(n, m-1)，因此f(n,m) = f(n – m, m) + f(n,m - 1).
綜合以上情況，可以看出，整數劃分具有遞歸定義的特徵，其遞歸表達式爲：

算法實現

// test01_huafen.cpp : 定義控制檯應用程序的入口點。
//
#include "stdafx.h"
int q(int n,int m)
{
    if ((n<1)||(m<1))  return 0;
    if ((n==1)||(m==1))  return 1;
    if (n<m) return q(n,n);
    if (n==m) return q(n,m-1)+1;
        return q(n,m-1)+q(n-m,m);
}
int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{
    int n;
    printf("輸入一個整數:");
    scanf("%d",&n);
    printf("%d",q(n,n));
    scanf("%d",n);
    return 0;
}

結果：

輸入一個整數:6
11

將輸入的數據進行檢驗：
6；
5+1；
4+2，4+1+1；
3+3，3+2+1，3+1+1+1；
2+2+2，2+2+1+1，2+1+1+1+1；
1+1+1+1+1+1；
如上圖劃分所示，總共有11中不同的劃分結果。