bzoj 4297 Rozstaw szyn 思維 dfs

題目地址：

http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4297
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題意：

給定一棵有n個點，m個葉子節點的樹，其中m個葉子節點分別爲1到m號點，每個葉子節點有一個權值r[i]。你需要給剩下n-m個點各指定一個權值，使得樹上相鄰兩個點的權值差的絕對值之和最小。

思路：

QAQ，看了Claris的代碼，又自己想了想，但還是有點迷迷糊糊。後來jxt看了這題，說了他的思路，自己才理解這題。然後下面說的是jxt的思路

首先題目給了m個權值確定的葉子節點，那麼答案的確定可以通過葉子節點，自底向上地完成。討論一個情況：當前結點爲y，x是y的子節點，x有k 個已經確定了權值的兒子，目前只考慮x的取值。首先，如果x的取值非常大（或者非常小，不過由於所有權值都是正整數，這種情況不一定會出現），每當val[x] 變化1，對答案的影響就是k ，當val[x] 漸漸變小，變得比一部分子節點權值大（記其爲kbig ），比一部分子節點權值小（記其爲ksmall ）的時候，val[x] 的變化給答案帶來的變化就是|kbig−ksmall| 。

上述情況可以得出兩個結論：

1. 當|kbig−ksmall| 最小時，x的子樹貢獻的答案最小，爲最優，此時val[x] 的取值明顯是一個範圍，在這個範圍裏，|kbig−ksmall| 達到了最小值。
2. 當val[x] 大小加減1時，|val[y]−val[x]| 的取值變化始終是1，但當val[x] 沒有處於使|kbig−ksmall| 最小的範圍時，顯然：val[x] 大小加減1對|kbig−ksmall| 變化的影響始終大於等於1，則val[x] 與x子樹取值對答案的貢獻大於val[x] 與val[y] 對答案的貢獻。如果x及其子樹沒有達到最優，那麼當x達到最優時的答案一定比當前答案優秀。（即一個樹達到最優的條件是其所有子樹達到最優）

綜上，爲了解題，我們只需要從低往上，確定當前節點使其子樹節點最優的取值範圍，然後用這個取值範圍遞推出其父節點的取值範圍，就可以求出答案。不需要重新建圖。

代碼：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <cstdlib>

using namespace std;

#define PB push_back
#define MS(x, y) memset(x, y, sizeof(x))

typedef pair<int, int> P;
typedef long long LL;
const int MAXN = 5e5 + 5;
const LL INF = 1000000000000000000LL;

int n, m;
LL ans;
int l[MAXN], r[MAXN];
int fa[MAXN];
P a[MAXN << 1];
vector<int> edges[MAXN];

void dfs(int u, int fa) {
//  cout << "dfs ing ..." << endl;
  if (edges[u].size() == 1) return ;
  for (int i = edges[u].size() - 1; i >= 0; --i) {
    if (edges[u][i] == fa) continue;
    dfs(edges[u][i], u);
  }
  int cnt = 0, v;
  LL mn = INF, sum = 0, now;
  int fut = 0, pst = 0;
// 確定u使其子樹達到最優的取值範圍
  LL fut_sum = 0, pst_sum = 0;
  for (int i = edges[u].size() - 1; i >= 0; --i) {
    v = edges[u][i];
    if (v == fa) continue;
    a[cnt++] = P(l[v], 0);
    a[cnt++] = P(r[v], 1);
    ++fut;
    fut_sum += l[v];
  }
  sort(a, a + cnt);
  for (int i = 0; i < cnt; ++i) {
    if (a[i].second) {
      ++pst;
      pst_sum += a[i].first;
    } else {
      --fut;
      fut_sum -= a[i].first;
    }
    now = fut_sum - fut * a[i].first + pst * a[i].first - pst_sum;
    if (now < mn) {
      mn = now;
      l[u] = a[i].first;
    }
    if (now == mn) r[u] = a[i].first;
  }
  ans += mn;
}

int main() {
  while (~scanf("%d%d", &n, &m)) {
    int u, v, lim;
    ans = 0;
    head = tail = 0;
    MS(fa, 0);
    MS(deg, 0);
    MS(used, false);
    for (int i = 1; i <= n; ++i) edges[i].clear();
    for (int i = 1; i < n; ++i) {
      scanf("%d%d", &u, &v);
      edges[u].PB(v);
      edges[v].PB(u);
    }
    for (int i = 1; i <= m; ++i) {
      scanf("%d", l + i);
      r[i] = l[i];
    }
    if (n == m) {
      for (u = 1; u <= n; ++u) {
        for (int i = edges[u].size() - 1; i >= 0; --i) {
          v = edges[u][i];
          ans += abs(l[u] - l[v]);
        }
      }
      printf("%I64d\n", ans / 2);
      continue;
    }
    dfs(n, 0);
    printf("%I64d\n", ans);
  }
}