HDU 4827 Cycle Cocycle 01高斯消元 bitset加速 模板

題目鏈接

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4827

題意

有一個n個點m條邊的圖，你要給每個點一個0或1的標號，使得每個點與偶數個相同標號的點之間有邊。如果有多解輸出任意一組。
題目保證一定有解。

思路

其實是sjt提醒我這題是高斯消元我纔想到思路的，而且想了很久，自己覺得詢問方案數，以及代數系統是模2的剩餘系的題目，可能和高斯消元還是有一點關係把（比如比較經典的UVa 11542 HDU 5833）

如何建立方程是個難題，首先建立的方程組一定是n∗n 的01方程組，但是這題一開始很難看出方程怎麼和題目有聯繫了，先根據樣例列一個方程看看：

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪?∗x1+1∗x2+1∗x3+1∗x4=?1∗x1+?∗x2+1∗x3+1∗x4=?1∗x1+1∗x2+?∗x3+0∗x4=?1∗x1+1∗x2+0∗x3+?∗x4=?

或者說是這樣的增廣矩陣

⎡⎣⎢⎢⎢⎢?1111?1111?0110?????⎤⎦⎥⎥⎥⎥

不妨考慮以下幾個要素：
1. i行i列的取值是什麼？也就是一個點建立出的方程要不要考慮它自己的取值？
2. 增廣矩陣最後一列，也就是常數項的那一列取值應該是什麼？

一個點列出的方程肯定和它周圍節點相關的，枚舉一個點在答案中的取值，於是可以列出下表：

答案中自身取值	是否考慮自己的權值	相鄰點數	常數項取值
0	考慮	偶數	0
0	考慮	奇數	1
0	不考慮	偶數	0
0	不考慮	奇數	1
1	考慮	偶數	1
1	考慮	奇數	1
1	不考慮	偶數	0
1	不考慮	奇數	0

接下來希望講清楚自己的思路QAQ，根據上面列出的表格，可以發現：
- 當一個點周圍有奇數個點的時候，把它的係數置爲1，那它的常數項必爲1
- 當一個點周圍有偶數個點的時候，把它的係數置爲0，那它的常數項必爲0

所以就可以通過高斯消元求解了（霧

這裏不用bitset優化就會TLE，所以自己參照大白和網上的一個題解寫了一個模板

代碼

此代碼稍作修改後就可以用來求解HDU 5833

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <bitset>

using namespace std;

typedef pair<int, int> P;
const int MAXN = 1e3 + 5;

int n, m;
bitset<MAXN> A[MAXN];
int x[MAXN];

// 建立線性方程組
// 建立出的方程組每行每列的第一個下標都是0
void setUpEquations(bitset<MAXN> A[MAXN]) {
  // 清空原方程組
  for (int i = 0; i < n; ++i) A[i].reset();
  // 建立方程組, 具體問題具體分析
  int u, v;
  for (int i = 0; i < m; ++i) {
    scanf("%d%d", &u, &v);
    --u; --v;
    A[u].set(v); A[v].set(u);
  }
  for (int i = 0; i < n; ++i) if (A[i].count() & 1) {
    A[i].set(i);
    // 因爲bitset的常數較小，爲省方便
    // 直接把增廣矩陣的最後一列放在bitset的最後一列
    A[i].set(MAXN - 1);
  }
}

// 高斯-約當消元法
// m個方程， n個變量
void gauss(bitset<MAXN> A[MAXN], int *x, int m, int n) {
  // 第一步，化爲對角陣
  int i = 0, j = 0, k, r, u;
  while (i < m && j < n) {
    r = i;
    for (k = i; k < m; ++k) if (A[k][j]) {
      r = k;
      break;
    }
    if (A[r][j]) {
      if (r != i) swap(A[r], A[i]);
      for (u = i + 1; u < m; ++u) if (A[u][j]) A[u] ^= A[i];
      ++i;
    }
    ++j;
  }
  int Rank = i;
  // 矩陣已經化簡爲對角陣，如果只需要求出矩陣的秩
  // （用於確定方程組有幾組不同的解，如UVa 11542 HDU 5833）
  // 直接 return Rank; 即可

  // 第二步，回代變量，求解方程組
  // 本題中默認自由變量值爲0
  for (i = 0; i < n; ++i) x[i] = 0;
  for (i = Rank - 1; i >= 0; --i) {
    if (A[i][MAXN - 1]) {
      u = 0;
      while (!A[i][u]) ++u;
      x[u] = 1;
      for (j = i - 1; j >= 0; --j) if (A[j][u]) {
        A[j][u] = 0;
        A[j].flip(MAXN - 1);
      }
    }
  }
}

int main() {
//  freopen("in.txt", "r", stdin);
//  freopen("out.txt", "w", stdout);
  int T, kase = 0;
  scanf("%d", &T);
  while (T--) {
    scanf("%d%d", &n, &m);
    setUpEquations(A);
    gauss(A, x, n, n);
    printf("Case #%d:\n", ++kase);
    for (int i = 0; i < n; ++i) putchar('0' + x[i]);
    putchar(10);
  }
}