母函數 詳解

母函數 詳解

默認分類 2011-01-25 15:10:31 閱讀200 評論1
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在數學中，某個序列的母函數是一種形式冪級數，其每一項的係數可以提供關於這個序列的信息。使用母函數解決問題的方法稱爲母函數方法。


母函數可分爲很多種，包括普通母函數、指數母函數、L級數、貝爾級數和狄利克雷級數。對每個序列都可以寫出以上每個類型的一個母函數。構造母函數的目的一般是爲了解決某個特定的問題，因此選用何種母函數視乎序列本身的特性和問題的類型。

這裏先給出兩句話，不懂的可以等看完這篇文章再回過頭來看：


“把組合問題的加法法則和冪級數的t的乘冪的相加對應起來”

“母函數的思想很簡單—就是把離散數列和冪級數一一對應起來，把離散數列間的相互結合關係對應成爲冪級數間的運算關係，最後由冪級數形式來確定離散數列的構造. “




我們首先來看下這個多項式乘法：


由此可以看出:

1. x的係數是a1,a2,…an的單個組合的全體。

2. x2的係數是a1,a2,…a2的兩個組合的全體。

………

n. xn的係數是a1,a2,….an的n個組合的全體（只有1個）。

由此得到：



母函數的定義：

對於序列a0，a1，a2，…構造一函數：






稱函數G(x)是序列a0，a1，a2，…的母函數

這裏先給出2個例子，等會再結合題目分析：


第一種：

有1克、2克、3克、4克的砝碼各一 枚，能稱出哪幾種重量？每種重量各有幾種可能方案？

考慮用母函數來接吻這個問題：

我們假設x表示砝碼，x的指數表示砝碼的重量，這樣：

1個1克的砝碼可以用函數1+x表示，

1個2克的砝碼可以用函數1+x2表示，

1個3克的砝碼可以用函數1+x3表示，

1個4克的砝碼可以用函數1+x4表示，

上面這四個式子懂嗎？

我們拿1+x2來說，前面已經說過，x表示砝碼，x的指數表示重量，即這裏就是一個質量爲2的砝碼，那麼前面的1表示什麼？1代表重量爲2的砝碼數量爲0個。（理解！）

不知道大家理解沒，我們這裏結合前面那句話：

“把組合問題的加法法則和冪級數的t的乘冪的相加對應起來”

1+x2表示了兩種情況：1表示質量爲2的砝碼取0個的情況，x2表示質量爲2的砝碼取1個的情況。


這裏說下各項係數的意義：

在x前面的係數a表示相應質量的砝碼取a個，而1就表示相應砝碼取0個，這裏可不能簡單的認爲相應砝碼取0個就該是0*x2(想下爲何？結合數學式子)。

Tanky　Woo 的程序人生：http://www.wutianqi.com/

所以，前面說的那句話的意義大家可以理解了吧？


幾種砝碼的組合可以稱重的情況，可以用以上幾個函數的乘積表示：

(1+x)(1+x2)(1+x3)(1+x4)

=(1+x+x2+x3)(1+x3+x4+x7)

=1+x+x2+2x3+2x4+2x5+2x6+2x7+x8+x9+x10

從上面的函數知道：可稱出從1克到10克，係數便是方案數。（！！！經典！！！）

例如右端有2x5 項，即稱出5克的方案有2：5=3+2=4+1；同樣，6=1+2+3=4+2；10=1+2+3+4。

故稱出6克的方案有2，稱出10克的方案有1 。

接着上面，接下來是第二種情況：


求用1分、2分、3分的郵票貼出不同數值的方案數：

大家把這種情況和第一種比較有何區別？第一種每種是一個，而這裏每種是無限的。



以展開後的x4爲例，其係數爲4，即4拆分成1、2、3之和的拆分數爲4；

即 ：4=1+1+1+1=1+1+2=1+3=2+2

這裏再引出兩個概念整數拆分和拆分數：

所謂整數拆分即把整數分解成若干整數的和（相當於把n個無區別的球放到n個無標誌的盒子，盒子允許空，也允許放多於一個球）。

整數拆分成若干整數的和，辦法不一，不同拆分法的總數叫做拆分數。

現在以上面的第二種情況每種種類個數無限爲例，給出模板：


1
2
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38 #include <iostream>
using namespace std;
// Author: Tanky Woo
// www.wutianqi.com
const int _max = 10001;
// c1是保存各項質量砝碼可以組合的數目
// c2是中間量，保存沒一次的情況
int c1[_max], c2[_max];
int main()
{ //int n,i,j,k;
int nNum; //
int i, j, k;

while(cin >> nNum)
{
for(i=0; i<=nNum; ++i) // ---- ①
{
c1[i] = 1;
c2[i] = 0;
}
for(i=2; i<=nNum; ++i) // ----- ②
{

for(j=0; j<=nNum; ++j) // ----- ③
for(k=0; k+j<=nNum; k+=i) // ---- ④
{
c2[j+k] += c1[j];
}
for(j=0; j<=nNum; ++j) // ---- ⑤
{
c1[j] = c2[j];
c2[j] = 0;
}
}
cout << c1[nNum] << endl;
}
return 0;
}


我們來解釋下上面標誌的各個地方：

① 、首先對c1初始化，由第一個表達式(1+x+x2+..xn)初始化，把質量從0到n的所有砝碼都初始化爲1.




② 、 i從2到n遍歷，這裏i就是指第i個表達式，上面給出的第二種母函數關係式裏，每一個括號括起來的就是一個表達式。




③、j 從0到n遍歷，這裏j就是(前面i個表達式累乘的表達式)裏第j個變量，(這裡感謝一下seagg朋友給我指出的錯誤，大家可以看下留言處的討論)。如(1+x)(1+x^2)(1+x^3)，j先指示的是1和x的係數，i=2執行完之後變爲
（1+x+x^2+x^3）(1+x^3)，這時候j應該指示的是合併後的第一個括號的四個變量的係數。.



④ k表示的是第j個指數，所以k每次增i（因爲第i個表達式的增量是i）。



⑤ 、把c2的值賦給c1,而把c2初始化爲0，因爲c2每次是從一個表達式中開始的



咱們趕快趁熱打鐵，來幾道題目：


（相應題目解析均在相應的代碼裏分析）

1. 題目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1028

代碼：http://www.wutianqi.com/?p=587

這題大家看看簡單不？把上面的模板理解了，這題就是小Case!

看看這題：

2. 題目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1398

代碼：http://www.wutianqi.com/?p=590

要說和前一題的區別，就只需要改2個地方。 在i遍歷表達式時（可以參考我的資料—《母函數詳解》），把i<=nNum改成了i*i<=nNum,其次在k遍歷指數時把k+=i變成了k+=i*i; Ok,說來說去還是套模板~~~

3. 題目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1085

代碼：http://www.wutianqi.com/?p=592

這題終於變化了一點，但是萬變不離其中。

大家好好分析下，結合代碼就會懂了。

4. 題目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1171

代碼：http://www.wutianqi.com/?p=594

還有一些題目，大家有時間自己做做：

HDOJ：1709，1028、1709、1085、1171、1398、2069、2152

（原創文章，歡迎各位轉載，但是請不要任意刪除文章中鏈接，請自覺尊重文章版權，違法必究，謝謝合作。Tanky Woo原創, www.WuTianQi.com）

附：


1.在維基百科裏講到了普通母函數、指數母函數、L級數、貝爾級數和狄利克雷級數：

http://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E6%AF%8D%E5%87%BD%E6%95%B0

2．Matrix67大牛那有篇文章：什麼是生成函數：

http://www.matrix67.com/blog/archives/120

3.大家可以看看杭電的ACM課件的母函數那篇，我這裏的圖片以及一些內容都引至那。