UVa679-Dropping Balls-小球下落-二叉樹的編號

題目鏈接：https://vjudge.net/problem/UVA-679 本題程序並不是按照OJ輸入輸出的！

有一棵二叉樹，最大深度爲D，且所有葉子的深度都相同。所有結點從上到下從左到右編號爲1, 2, 3,…, 2D-1。在結點1處放一個小球，它會往下落。每個內結點上都有一個開關，初始全部關閉，當每次有小球落到一個開關上時，狀態都會改變。當小球到達一個內結點時，如果該結點上的開關關閉，則往左走，否則往右走，直到走到葉子結點，如下圖所示。

圖  所有葉子深度相同的二叉樹

一些小球從結點1處依次開始下落，最後一個小球將會落到哪裏呢？輸入葉子深度D和小球個數I，輸出第I個小球最後所在的葉子編號。假設I不超過整棵樹的葉子個數。D≤20。輸入最多包含1000組數據。 

樣例輸入：
4 2
3 4
10 1
2 2
8 128
16 12345
樣例輸出：

12
7
512
3
255
36358

分析：

1、完全二叉樹中，對於一個結點k，其左子結點、右子結點的編號分別是2k和2k+1。

2、開闢數組直接模擬狀態。下面代碼中，1<<n 代表1往左移n位，二進制表示。所以1<<20就是2^20

方法一：

#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
const int maxd=20;
int s[1<<maxd];
int main(){
    int D,I;
    while(cin>>D>>I){
        memset(s,0,sizeof(s));
        int k=1;
        while(I--){
            k=1;
            for(int i=1;i<=D;i++){
                if(s[k]==0) {
                    s[k]=1;
                    k=2*k;
                }else{
                    s[k]=0;
                    k=2*k+1;
                }
            }
        }
        cout<<k/2<<endl;
    }
    return 0;
}


/*
for循環也可以這樣寫
for(int i=1;i<=D;i++){
    s[k]=!s[k];
    k=s[k]?2*k:2*k+1;
}
*/

方法改進：

此程序運算量太大。由於I可以高達2D-1，每組測試數據下落總層數可能會高達219*19=9961472，而一共可能有10000組數據…… 

每個小球都會落在根結點上，因此前兩個小球必然是一個在左子樹，一個在右子樹。一般地，只需看小球編號的奇偶性，就能知道它是最終在哪棵子樹中。對於那些落入根結點左子樹的小球來說，只需知道該小球是第幾個落在根的左子樹裏的，就可以知道它下一步往左還是往右了。依此類推，直到小球落到葉子上。 

如果使用題目中給出的編號I，則當I是奇數時，它是往左走的第（I+1）/2個小球；當I是偶數時，它是往右走的第I/2個小球。這樣，可以直接模擬最後一個小球的路線。

方法二：

#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
int main(){
    int D,I;
    while(cin>>D>>I){
        int k=1; //k是最後一個小球所走的序號
        for(int i=0;i<D-1;i++){
            if(I%2){
                k=2*k; //奇數往左走
                I=(I+1)/2; //是往左走的第(I+1)/2個
            }else{
                k=2*k+1; //偶數往右走
                I=I/2; //是往右走的第I/2個
            }
        }
        cout<<k<<endl;
    }
    return 0;
}