1.基本知識
（1）線段兩端點P (x1, y1)，Q(x2, y2)，線段上任意一點表示爲：
x = λx1 + (1-λ)x2
y = λy1 + (1-λ)y2
0 <= λ <= 1
與原點O結合起來便有矢量OP和OQ，得到PQ。
（2）矢量加減法
P+Q= (x1+x2, y1+y2) 滿足交換律P+Q=Q+P
P-Q= (x1-x2, y1-y2) P-Q = -(Q-P)
（3）矢量叉積
P×Q = x1 × y2 - x2 × y1 ；結果是一個標量，可以用行列式表示
P×Q = -(Q×P)
P×(-Q) = -(P×Q)
P×Q>0 Q在P的逆時針方向；<0在順時針方向；=0共線，同向或反向。
更一般的情況：
A(x0, y0) B(x1, y1) C(x2, y2)三點構成AB和AC：
typedef struct point
{
double x;
double y;
}POINT;
double CrossProd(POINT A, POINT B, POINT C)
{
return (B.x - A.x) * (C.y - A.y) - (C.x - A.x) * (B.y - A.y);
}
（4）折線段拐向判斷
根據前面（3）的判斷方向，如果我們是判斷AB和BC的方向只需要判斷AB×AC即可：
>0，BC在AB的左側；<0，BC在AB的右側；=0三點共線
（5）判斷點是否在線段上
這個可以根據前面的共線條件=0判斷，但是在這裏要解決是否在延長線或者反延長線上。ON-SEGMENT(POINT P1,POINT P2, POINT Q)
{
if (((min(P1.x, P2.x) <= Q.x)&&(Q.x <= max(P1.x, P2.x)))&&
((min(P1.y, P2.y) <= Q.y) &&(Q.y <= max(P1.y, P2.y))))
{
return true;
}
return false;
}
（6）跨立實驗與判斷兩線段是否相交
快速排斥實驗：以兩個向量分辨作爲矩形的對角線，判斷這兩個矩形是否相交。
跨立實驗:如果PQ與MN相交則，P和Q分別在MN兩側。
跨立的相交條件是：
(MP×MN)×(MN×MQ)>=0
(PM×PQ)×(PQ×PN)>=0
（7）整數點與Pick定理
1899年，Pick定理：設以整數點爲頂點的多邊形的面積爲S，多邊形內部的整數點爲N，多邊形邊界上的整數點數爲L，則N +（1/2）L - 1 = S
感興趣者參考維基百科：http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E7%9A%AE%E5%85%8B%E5%AE%9A%E7%90%86
// 求a，b最大公因數 大數在a上
int gcd(int a, int b)
{
if (b == 0) return a;
else return gcd(b, a%b);
}
int OnEdge(int n, POINT *p)
{
int i, ret = 0;
for (i = 0; i < n; i++)
{
ret += gcd(fabs(p[i].x-p[(i+1)%n].x), fabs(p[i].y-p[(i+1)%n].y));
}
return ret;
}
int InSide(int n, POINT *p)
{
int i, area = 0;
for (i = 0; i < n; i++)
{
area += p[(i+1)%n].y * (p[i].x - p[(i+2)%n].x);
}
return fabs(area) - OnEdge(n, p)/2 + 1;
}
2. 基本算法
（1）判斷線段和直線是否相交
跨立實驗
（2）判斷矩形是否包含該點
判斷該點的橫座標和縱座標是否夾在矩形的左右邊和上下邊之間。
（3）判斷線段、折線、多邊形是否在矩形中
矩形是凸集，只需要判斷所有點是否在矩形中
（4）判斷矩形是否在矩形中
同（3）
（5）判斷圓是否在矩形中
圓心在矩形中，且圓心到矩形最短距離小於半徑
（6）判斷點是否在多邊形中
引申該點到多邊形外產生射線，如果該線與多邊形邊的交點爲偶數則在多邊形外，奇數則在多邊形內。
特殊情況：該點在多邊形邊上（只要判斷一下即可）；射線上含有多邊形頂點（重新隨機選擇）
#define eps 0.000001
#define zero(x) (((x)>0?(x):-(x))<eps)
int inside_polygon(int n, POINT p, POINT *pt)
{
POINT p1;
int i = 0, count;
while (i < n) //隨機取一個足夠遠的p1
{
p1.x = rand() + offset, p1.y = rand() + offset;
count = 0;
for (i = 0; i < n; i++) // 依次對多邊形的每條邊s = pt[i]pt[i+1]進行考察
{
if (zero(CrossProd(p, pt[i], pt[(i+1)%n])) && (pt[i].x - p.x) * (pt[(i+1)%n].x - p.x) < eps \
&& (pt[i].y - p.y) * (pt[(i+1)%n].y - p.y) < eps)
{
return 0; // p 在多邊形邊上
}
else if (zero(CrossProd(p, p1, pt[i])))
{
break; // 點在射線上
}
else if (CrossProd(p, pt[i], p1) * CrossProd(p, p1, pt[(i+1)%n]) > eps &&\
CrossProd(pt[i], p, pt[(i+1)%n]) * CrossProd(pt[i], pt[(i+1)%n], p1) > eps)
{
count ++; // 射線與多邊形邊相交，統計交點數
}
}
}
}
（7）判斷線段是否在多邊形內
只需要檢查該線段兩個端點是否在多邊形內，且是否與多邊形相交（凹多邊形），如果相交，求出交點，並計算兩個相鄰交點的中點是否在多邊形內，如果在，則該線段在多邊形內。
if (線段PQ的端點不都在多邊形內)
return false;
else
{
點集pointSet初始化爲空;
for (多邊形的每條邊s)
if (線段的某個端點在s上)
將該點加入pointSet;
else
{
if (s的某個端點在PQ上)
將該端點加入pointSet;
else if (s和線段PQ相交)
return false;
}
將pointSet中的點按照X-Y座標排序；
for(pointSet[i],pointSet[i+1])
if (兩個相鄰的點不在多邊形內)
return false;
return true;
}
（8）判斷折線是否在多邊形內
判斷折線的每條線段是否在多邊形內
（9）判斷多邊形是否在多邊形內
判斷多邊形的每條邊是否在多邊形內
（10）判斷矩形是否在多邊形內
同上
（11）判斷圓是否在多邊形內
判斷圓的半徑是否小於等於圓心到多邊形邊最短距離
（12）判斷點是否在圓內
計算圓心到該點距離，判斷是否小於等於半徑
（13）判斷線段、折線、矩形、多邊形是否在圓內
圓是凸集，只要判斷每個頂點是否在圓內
（14）判斷圓是否在圓內
計算要判斷的圓的半徑是否小於該圓半徑，如果否則不在圓內，若是則計算兩個圓心之間的距離，如果小於兩個半徑之差則在圓內，否則不在。
3.凸包
將點集包含的最小凸邊形，退化情況爲一條線段或一個點
凸包求法：
（1）Graham掃描法
void graham( int n )
{
令P爲點集中y座標最小的點；
m =n -1;
利用叉積將剩餘的點逆時針排序;
設定棧S；
將P壓入棧，並依次壓入排序好的第一個和第二個點；
棧頂位置top = 2；
for(i = 3; i<=m; i++)
{
//向左轉利用叉積，如果下面的叉積小於0，則不是左轉
While(計算次棧頂元素，棧頂元素以及第i個元素和棧頂元素所形成的角不是向左轉)
將棧頂元素出棧；
將第i個元素壓棧；
}
輸出棧中元素；//即凸包的頂點
}
（2）Jarvis步進法
點集Q處於最低最左邊位置（y座標值最小）的一個點M是凸包的一個頂點，最高最右邊位置（y座標值最大）的點N是凸包上的點。
這樣有一條MN線，如此在外圍拉線，包住各個點，外圍的點就是凸包上的點。
確定右鏈和左鏈：
右鏈：設定一個棧，先將M入棧，對其他的點依據相對於棧頂元素的最小極角，並距離最遠的點入棧。
左鏈：類之。