離散結構：圖論進階

一、匹配

1.0 引論

設 G=(V, E) 是簡單圖， M $\subseteq$ E。如果 M 中任何兩條邊都不鄰接，則稱 M 爲 G 中的一個匹配（matching）或邊獨立集

設頂點 v $\in$ V，若存在 e $\in$ M，使得 v 是 e 的一個端點，則稱 v 是 M-飽和的（matched or saturated），否則稱 v 是 M-非飽和的（unmatched）。

例子如下所示：

{v2, v4, v5, v6}是M-飽和頂點

{v1, v3}是M-非飽和頂點

若匹配 M 滿足對任意 e $\in$ E - M， M∪{e} 不再構成匹配，則稱 M 作 G 的一個極大匹配（maximal matching）

如果圖 G 的匹配 M 滿足對於 G 的任何匹配 M’ 都有 |M| $\geqslant$ |M’|，則稱 M 是 G 的一個最大基數匹配（maximum-cardinality matching ）或 最大匹配（maximum matching）

最大匹配 M 的元素數稱作圖 G 的匹配數（matching number），記作 v (G)

飽和圖 G 中每個頂點的匹配稱作完全匹配（complete matching）或完美匹配（perfect matching）
例子如下：

性質：

(a) 極大匹配不是任何其他匹配的子集
(b) 若匹配 M 是 G 的一個極大匹配，則對於任意e $\in$ E - M，都存在 e1 $\in$ M，使得 e 與 e1 相鄰
(c) 一個圖中的極大匹配可能不唯一
(d) 一個圖中的最大匹配可能不唯一
(e) 每個最大匹配都是極大匹配，但不是每個極大匹配都是最大匹配
(f) 顯然圖 G 的匹配數不超過 G 的階數的一半

(a) 在完美匹配中，每個頂點都關聯匹配中的一條邊
(b) 如果圖 G 存在完美匹配，則圖 G的匹配數爲 G 的階數的一半，此時的階數爲偶數
(c) 每個完美匹配都是最大匹配，但不是每個最大匹配都是完美匹配

例

完全圖 Kn（n $\geqslant$ 3）中匹配數爲 $\left \lfloor n/ 2 \right \rfloor$
完全二部圖 Km, n 的匹配數爲 min(m, n)
圈圖 Cn（n $\geqslant$ 3）的匹配數爲 $\left \lfloor n/ 2 \right \rfloor$

1.1 伯奇引理 Berge's lemma

該引理用來判斷是否爲最大匹配的伯奇引理。

設 M 是 G 中一個匹配，若 G 中一條初級道路是由 M 中邊和 EM 中邊交替出現組成的，則稱其爲交錯道路（alternating path），若一條交錯道路的始點和終點都是M-非飽和頂點，則稱其爲M-可增廣道路（augmenting path），

易知可增廣道路的長度一定是奇數。

定理（伯奇引理）
匹配 M 爲圖 G=(V, E) 的最大匹配當且僅當 G 中不存在 M-可增廣道路。（證明略）

1.2 最大匹配構造算法 Algorithm on Constructing Maximum Matching

基於伯奇引理，可以給出求二部圖中最大匹配的算法，其基本思想是：

從任何一個初始匹配開始，不斷尋找可增廣道路從而擴大匹配的基數，直至不能再擴大爲止。
爲表述該算法，首先補充一個定義。

設 W 是圖 G 的頂點集的一個子集，則(W) = { v | 存在u $\in$ W，使得u與v相鄰 } 稱作 W 的鄰接頂點集（neighborhood of W）

算法描述如下：

1.3 霍爾定理 Hall's Theorem

霍爾（Philip Hall）曾研究二部圖中的匹配，並於1935年提出了著名的“霍爾婚配定理（Hall's marriage theorem） ” ，或簡稱“霍爾定理（Hall's theorem） ”

設 G=(X, Y, E) 爲二部圖， G 中存在飽和 X 中每個結點的匹配 M（即 |M| = |X| ）
當且僅當對任何非空集合 S $\subseteq$ X， |(S)| $\geqslant$ |S|

該條件表示任意子集 S 都有足夠多的相鄰頂點

定理
設 G = (X, Y, E) 爲二部圖， G 中存在飽和 X 中每個頂點的匹配 M 當且僅當對任何非空集合S $\subseteq$ X， |(S)| $\geqslant$ |S|

推論1
設 G=(X, Y, E) 爲二部圖，若存在正整數 k，使得對任意 x $\in$ X，有 deg(x) $\geqslant$ k，對任意 y $\in$ Y，有deg(y) $\leqslant$ k，則 G 中存在飽和 X 中每個頂點的匹配。

推論2
對任意正整數 k， k-正則二部圖中必定存在飽和 X 中每個頂點的匹配。

1.4 拉丁方 Latin square

例子引入：

稱每行及每列都包含給定的 n 符號恰 1 次的一個 n×n 矩陣爲拉丁方（Latin square）
例：

著名數學家和物理學家歐拉最早研究了這樣的方陣，他使用拉丁字母來作爲方陣裏元素的符號，拉丁方因此而得名
拉丁方不僅影響着統計學實驗設計，而且出現在離散數學及代數的許多不同領域中
一般來說，設 S={1, 2,…, n}，構造 S 上 n 階拉丁方的主體思路就是逐行生成：例子如下

1.5 邊覆蓋集 Edge Cover Set

設 G(V, E) 是沒有孤立頂點的簡單圖， E $^*\subseteq$ E

如果對於任意 v $\in$ V，都存在 e $\in$ ，使得 v 是 e 的一個端點，則稱爲 G 的一個邊覆蓋集，簡稱邊覆蓋（edge cover）
若是圖 G 的邊覆蓋，且的任何真子集都不再是邊覆蓋，則稱E 爲一個極小邊覆蓋（minimaledge cover）
如果圖 G 的邊覆蓋滿足對於 G 的任何邊覆蓋 E ’ 都有 || $\leqslant$ |E ’|，則稱是 G 的一個最小邊覆蓋（minimum edge cover）
最小邊覆蓋的元素數稱作圖 G 的邊覆蓋數（edge covering number），記作 $\rho$ (G)。例子如下

性質：

(a) 顯然有孤立頂點的簡單圖不存在邊覆蓋
(b) 極小邊覆蓋中任何一條邊的兩個端點不可能都與中其他邊相關聯
(c) 明顯有 $\rho$ (G) $\geqslant$ | V | / 2
(d) 一個圖中的極小邊覆蓋可能是不唯一的
(e) 一個圖中的最小邊覆蓋可能是不唯一的
(f) 每個最小邊覆蓋都是極小邊覆蓋，但不是每個極小邊覆蓋都是最小邊覆蓋

定理
設 G(V, E) 是沒有孤立頂點的簡單圖，M 爲 G 的一個匹配， N 爲 G 的一個邊覆蓋，則 |N| $\geqslant$ $\rho$ (G) $\geqslant$ |V|/2 $\geqslant$ v (G) $\geqslant$ |M| ；
且當等號成立時， M 爲 G 的一個完美匹配， N 爲 G 的一個最小邊覆蓋。

定理
設 G(V, E) 是沒有孤立頂點的簡單圖則有：

設 M 爲 G 的一個最大匹配，對 G 中每一個M-非飽和頂點均取一條與其關聯的邊，組成集合 N，
則 M∪N 構成 G 的一個最小邊覆蓋。

定理
設 G(V, E) 是沒有孤立頂點的簡單圖則有：

設 M 爲 G 的一個最大匹配，對 G 中每一個M-非飽和頂點均取一條與其關聯的邊，組成集合 N，則 M∪N 構成 G 的一個最小邊覆蓋。
設 N 爲 G 的一個最小邊覆蓋，若 N 存在相鄰的邊則移去其中一條，直至不存在相鄰的邊爲止，構成的邊集合 M 則爲 G 的一個最大匹配

定理

設 G(V, E) 是沒有孤立頂點的簡單圖則有

設 M 爲 G 的一個最大匹配，對 G 中每一個M-非飽和頂點均取一條與其關聯的邊，組成集合 N，則 M∪N 構成 G 的一個最小邊覆蓋
設 N 爲 G 的一個最小邊覆蓋，若 N 存在相鄰的邊則移去其中一條，直至不存在相鄰的邊爲止，構成的邊集合 M 則爲 G 的一個最大匹配
$\rho$ (G) + v (G) = |V |

1.6 柯尼希-艾蓋爾瓦里定理 Kö nig-Egervá ry Theorem

定理1
假設 K 爲沒有孤立頂點的簡單圖 G 的任意一個點覆蓋集， M 爲 G 的任意一個匹配，則 |M| $\leqslant$ |K|。特別是 v (G) $\leqslant$ $\beta$ (G)

推論
假設 K 爲沒有孤立頂點的簡單圖 G 的任意一個點覆蓋集， M 爲 G 的任意一個匹配，若 |M|=|K|，則 M 是一個最大匹配， K 是一個最小覆蓋。

證明: 由 |M| $\leqslant$ v (G) $\leqslant$ $\beta$ (G) $\leqslant$ |K| 即得

定理2（柯尼希-艾蓋爾瓦里定理， KönigEgerváry theorem）
二部圖中最大匹配的邊數等於最小點覆蓋數的頂點數。(證明略）

柯尼希-艾蓋爾瓦里定理還可以從另一個角度來描述：

所謂布爾矩陣的覆蓋，是指選擇了矩陣中某些行與列，這些行與列包含了矩陣中的所有非零元“1”。稱能覆蓋全部非零元的最少行、列數之和爲最小覆蓋數，記爲 S
對於任一個 mxn 布爾矩陣中，如果蓋住了全部 m 行或全部 n 列，就會蓋住全部非零元。因此顯然有 S≤min(m, n)

容易看出，每個布爾矩陣都可以看爲二部圖的矩陣形式，而每個覆蓋都對應於二部圖中的一個點覆蓋。
定義mxn布爾矩陣的秩（term rank）爲矩陣中不在同行同列的1元素的最大個數，易見它的秩小於min(m, n)，而且二部圖的矩陣形式的秩就是最大匹配數
則定理2也可以等價表述爲：布爾矩陣的秩等於其最小覆蓋數

由是，如果將布爾矩陣和二部圖（的矩陣形式）視爲等同，則二部圖的最大匹配數、二部圖的點覆蓋數、布爾矩陣的秩、布爾矩陣的最小覆蓋數 4 者相等。

1.7 二部圖中的最佳匹配 Optimal Matching of Bipartite Graph

最大匹配、霍爾定理都是在邊權值爲1（或者說是邊無權值）的情況下的匹配問題，但在實際應用問題中——
不同的人從事不同工作時可能具有各不相同的效益或者成本，於是在人員工作安排時，不僅要求每個人有工作可做，而且還進一步要求總的工作效益最高或者成本最小
此時人員和工作可以形成一個二部圖，而效益或者代價可以作爲邊的權值，之後尋找權值總和最大或最小的最大匹配。

二、流網絡

2.1 引言

引例：

一個地區的供水管線圖：

邊表示水管，權重是水管的容量上限
有向邊表示僅允許單向流動
頂點是水管的接合點
只有一個水源——自來水廠（頂點1）
只有一個最終的終點——終極用戶（頂點7）
水流流動時不能超過各條管線的容量限制。

一個地區的各條主幹道

只有一個入口（頂點1）
一個出口（頂點6）
邊表示單行線
每條單行線都有各自的最大吞吐量
希望計算單位時間內從此地區可以通過的最大可能車輛數

上述這一類問題都可以用一個統一的模型來描述：
假設 G = ( V, E ) 是一個連通無重邊且不包含自環的有向圖。如果 G 中
(1) 只有一個入度爲0的頂點，記之作 s，稱作源（sourse）
(2) 只有一個出度爲0的頂點，記之作 t，稱作匯（sink）
(3) 每條有向邊 e = ( u, v ) 都存在一個非負的權值 cuv，稱作邊的容量（capacity）

則稱 G 是一個網絡（network）或流網絡（flow network），也記作 G = ( V, E, s, t, c )

有向邊也稱作弧（arcs），邊 e=(u,v) 通常也記作 uv

注：

事實上如果有重邊的話，將所有重邊的容量求和作爲其中一條邊的總容量並刪除其他重邊，可以得到等價的網絡圖
自環的存在與否不影響問題的分析和求解，爲簡潔起見要求圖不存在自環。
在實際應用中，有時需要考慮點的權重（例如中轉站的容量上限），假設該頂點的容量爲w，可以通過如圖方式修改

當網絡中出現多個源和匯的時候：

有時網絡 N 中可能有多個源和多個匯，可以通過下述方式將網絡 N 擴大爲 N’，將問題轉化爲單個源和單個匯的網絡 N’ 中的最大流問題：

增加兩個新的頂點 s 和 t
添加 s 到每個源的有向邊
添加每個匯到 t 的有向邊
並且將足夠大的容量 c0 賦予這些新加的有向邊（通常取 c0 大於每個源發出邊容量之和即可）
分別稱 s 和 t 爲超源（super-source）和超匯（super-sink）

下面來看一個例子：

從城市A到城市C可以直達也可以途徑城市B。在下午18時到19時晚高峯期間平均行駛時間是： A到B需要15分鐘、 B到C需要
30分鐘、 A到C需要30分鐘。而路的最大容量是： A到B的容量是1000 輛、 B到C容量是1500輛、 A到C容量是 2000 輛。

根據上述描述，並且同時如果在 t1 時刻離開城市 X 並在 t2 時刻到達城市 Y，則在“X, t1”向“Y, t2”引一條邊，邊的權值是路的容量。其建立的流網絡模型如下所示：

引入一個超源和一個超匯

下面我們定義前驅和後繼

假設網絡 G = ( V, E, s, t, c ) 對於頂點 v $\in$ V，定義 v 的前驅（predecessor）爲 pred(v) = { u | (u, v) $\in$ E }，定義 v 的後繼
（successor）爲 succ(v) = { u | (v, u) $\in$ E }

接下來，我們將各個水管中流動的水量抽象爲一個函數 f 。

若實值函數 f : E → R 滿足：
(1) 容量限制 （capacity constraint ）：對所有 e = (u, v) $\in$ E，有 $f_{uv} = f (e) \leqslant c_{uv}$ ；

(2) 流量守恆（flow conservation）：對所有頂點 v $\in$ V - { s, t }, $\sum_{u\in pred(v)}f_{uv} = \sum _{u \in succ(v)}f_{vu}$

則稱它是網絡的一個容許流分佈，或簡稱爲一個流（flow）
$f_{uv}$ 稱作邊 (u, v) 上的流量
如果邊 e = (u, v) 滿足 $f_{uv}$ = $c_{uv}$ ，則稱 e 爲飽和邊。

如下是兩個流。

對所有頂點 v $\in$ V - {s}，定義 $f(\bullet ,v) = \sum _{u \in pred(v)} f_{uv}$ 稱作頂點v的總流入量
對所有頂點 v $\in$ V - {t}，定義 $f(u, \bullet) = \sum _{u \in succ(u)} f_{uv}$ 稱作頂點u的總流出量
流量守恆表明流在除了源和匯的各個頂點，總流入量等於總流出量，即既不產生也不消

下面我們定義流量，和最大流

設 f 是網絡圖 G 的一個流， $f(s, \bullet )$ 稱作流 f 的流量或者值（value），即源 s 的總流出量，記作 | f | 。
若 G 任意一個流 f ’ 都滿足 | f | $\geqslant$ | f ’|，則稱 f 是 G 的一個最大流（maximumflow）。

一般而言，網絡的最大流是不唯一的。

2.2 剩餘圖和可增廣道路 Residual Graph and Augment Path

假設網絡 G=(V, E, s, t, c) 中有流 f ，則可如下定義 G 關於 f 的剩餘圖（residual graph）爲
= (V, , s, t, c’)：

(1) 的頂點集與 G 的頂點集相同；
(2) 的邊集合有兩類：
{ (u, v) | $f_{uv}$ < $c_{uv}$ } 稱之爲前向邊（forward edge）
{ (u, v) | $f_{vu}$ > 0 }稱之爲後向邊（backward edge）
即 = { (u, v) | $f_{uv}$ < $c_{uv}$ 或 $f_{vu}$ > 0 }；
(3) 容量 $c_{uv}' = \begin{Bmatrix} c_{uv} - f_{uv} & ,if \; f_{uv} < c_{uv} \\ f_{vu} &,if \; f_{vu} > 0 \end{Bmatrix}$

注：不同的流 f 對應不同的剩餘圖

例子如下：

假設網絡 G = (V, E, s, t, c) 中有流 f，G 關於 f 的剩餘圖中的簡單 s-t 道路 P 稱作可增廣道路（augment path），
定義 bottleneck ( P, f ) 爲 P 所經過各邊的最小容量。

可以由增廣道路 P 構造 G 的一個新的流：

可以驗證 f ’ 滿足容量條件和守恆條件
| f ’| = | f | + bottleneck ( P, f ) > | f |，流的流量得以提升

2.3 最大流最小割定理 Max-flow Min-cut Theorem

首先，我們來定義割，

在網絡 G=(V, E, s, t, c) 中，任何一個滿足 s $\in$ S， t $\in$ T=V - S 的頂點 V 的劃分 {S, T} 稱作一個 s-t 割（s-t cut），簡稱割（cut）

一個 s-t 割的容量（capacity）定義爲 $\sum _{u \in S, v\in T, (u,v) \in E } c_{uv}$ ，記爲 cap(S, T)

如果圖 G 的 s-t 割 (S, T ) 使得任意一個 G 的 s-t 割 (S’, T ’) 都有 cap( S, T ) $\leqslant$ cap(S’, T ’)，則稱 ( S, T ) 是圖 G 的一個最小s-t割，簡稱最小割（minimum cut）

一般而言，網絡的最小 s-t 割不唯一。

下面建立流與割之間的關係，首先引入一些符號的定義。在網絡 G=(V, E, s, t, c) 中，假設 A, B 都是 V 的非空子集，定義

定理 1
假設 G=(V, E, s, t, c) 是一個網絡，令 f 是一個流， (S, T) 是一個 s-t 割，則通過該割的流量等於由源 s 發出的流量。即 f(S, T) - f(T, S) = | f | 。特別地有 f ( $\bullet$ , t)=| f | 。（證明略）

定理 2
設 G 是一個網絡，令 f 是 G 的一個流，( S, T ) 是 G 的一個 s-t 割，則| f | $\leqslant$ cap( S, T )

推論
設 G 是一個網絡， f 是一個流， ( S, T ) 是一個 s-t 割，則若 | f | = cap( S, T )，則 f 是一個最大流且 ( S, T ) 是一個最小 s-t 割

福特和福爾克森（Ford-Fulkerson） 1956年得到了可增廣道路定理和最大流最小割定理（max-flow min-cut theorem）

定理3
假設 f 是網絡 G=(V, E, s, t, c) 的一個流，
則以下陳述等價：
(a) f 是一個最大流
(b) 當前 f 的剩餘圖中不存在可增廣道路
(c) 存在 G 的一個 s-t 割 (S, T) 使得 | f | = cap( S, T )

由(a)和(b)的等價性可以給出最大流的構造算法——福特-福爾克森最大流算法（Ford-Fulkerson， 1956），算法實例如下：

最小割

如果各邊的容量都是整數，則每次 “ $f\leftarrow f'$ ” 的更新都使得流的值至少增加1，因此算法至多在 $\sum _{v\in succ(s)}c_{sv}$ 次後結束

2.4 網絡最大流的應用 Applications of Maximum Flow

可以將二部圖的匹配問題化爲網絡流圖：

1. 將原圖的所有無向邊改爲有向邊，由 X 中頂點指向 Y 中頂點；
2. 添加一個超源頂點 s 和一個超匯頂點 t ；
3. 添加 s 到 X 中每個頂點的有向邊，添加 Y 中每個頂點到 t 的有向邊；
4. 所有有向邊的容量都設置爲1。所得的圖稱作匹配網絡（matching nerwork）

定理
(a) 可以由匹配網絡的一個流給出 G 的一個匹配，其中頂點 x $\in$ X 和 y $\in$ Y 相匹配當且僅當邊 (x, y) 上的流量是 1
(b) 一個最大流對應於一個最大匹配
(c) 一個值爲 | X | 的流對應於一個飽和 X中每個結點的匹配

舞伴問題（dancing problem， k-正則二部圖的完美匹配）：

一次舞會有 n 個男孩和 n 個女孩，每名男孩恰好認識 k 名女孩，每名女孩也恰好認識 k 名男孩（1  k  n），是否可以安排得當，使得每人的舞伴都是自己認識的？也即是否存在k-正則二部圖的完美匹配？

可以證明它是一個值爲 n 的最大流——這就證明
了完美匹配的存在性

設 G=(V, E) 是一個有向連通圖， s 和 t 是圖中兩個給定的不同頂點。在圖中從頂點 s 到頂點 t 的沒有公共邊的初級道路稱爲邊不相交的道路（edge-disjoint paths）

由於要求找到從 s 到 t 的初級道路，因此可以忽略指向 s 的有向邊和由 t 發出的有向邊、忽略不是 s 或 t 但入度爲0或出度爲0的頂點，故而可以假定圖中只有一個入度爲0的頂點 s、只有一個出度爲0的頂點 t，並給每條有向邊都賦以權值1，於是形成一個網絡。其中最大流的值就是 s 到 t 的邊不相交道路的最大數目

如果 E’ $\subseteq$ E，且滿足每條從 s 到 t 的初級道路都必然包含 E’ 中的邊，則稱 E’ 是 G 的 st-分離集 (st-disconnectigng set)

其中最大流的值就是 s 到 t 的邊不相交道路的最大數目，而最小割的容量，則是st-分離集的最少有向邊數
由最大流最小割定理即得到門格定理（Menger， 1927）：

定理
有向圖 D 中的從頂點 s 到頂點 t 的邊不相交有向道路的最大數目等於st-分離集的最少有向邊數

離散結構：圖論進階

離散結構：圖論進階

一、匹配

1.0 引論

1.1 伯奇引理 Berge's lemma

1.2 最大匹配構造算法 Algorithm on Constructing Maximum Matching

1.3 霍爾定理 Hall's Theorem

1.4 拉丁方 Latin square

1.5 邊覆蓋集 Edge Cover Set

1.6 柯尼希-艾蓋爾瓦里定理 Kö nig-Egervá ry Theorem

1.7 二部圖中的最佳匹配 Optimal Matching of Bipartite Graph

二、流網絡

2.1 引言

2.2 剩餘圖和可增廣道路 Residual Graph and Augment Path

2.3 最大流最小割定理 Max-flow Min-cut Theorem

2.4 網絡最大流的應用 Applications of Maximum Flow

【簡寫Mybatis-02】註冊機的實現以及SqlSession處理

手繪二維碼

.NET藉助虛擬網卡實現一個簡單異地組網工具

實數系統的構造與發展歷程

離散結構：圖論與樹

離散結構：圖論進階

基於信息流的安全格模型

圖論問題建模討論彙總

Mac下配置sublime實現LaTeX

https://yachay.unat.edu.pe/blog/index.php?comment_area=format_blog&comment_component=blog&comment_co

linux以太網驅動總結