數據流分析之WorkList Algorithm

目錄

 

（1）如何求解數據流方程？

（2）WorkList Algorithm

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（1）如何求解數據流方程？

不論是Reaching Definition Analysis中對可達定義集合的求解，還是Liveness Analysis中對活躍變量集合的求解，本質上都是在解方程。

以RDA舉例，其數據流方程如下：

可認爲每個指令都對應方程中的兩個變量，即IN(p)和OUT(p)。爲了減少變量個數，把(1)式帶入(2)式，以去掉IN(p)：

此時方程中的變量爲，而和則屬於常數，因爲其值隨着指令的確定而相應確定。

此外，方程還有一個初值，即，

轉化爲OUT，

 

爲了說明求解思路，先用更簡化的符號來表示上述方程：

通過此方程可以看出，數據流方程的一個重要特點就是，待求的每個未知數既是若干方程的自變量，也是某個方程的因變量。

從此特點出發，我們很快發現一種求解的思路，即先給定一組未知數的初始值如，接着將這組值帶入上述方程，得到又一組未知數的值，如果與相等，則說明找到了一組方程的解，因爲這組值可讓上述方程成立。如果與不相等，則重複上述過程，一定能找出方程的一組解。原因如下：

 

對於RDA，自變量越大（即集合的基數越大），根據方程，其因變量也相應越大。

由此可知，上述方程中的函數都是單調不減的，即如果，則有

，即

要讓解集合隨着迭代的進行而越來越大（即集合的基數越大），還需要一個初始條件，即

如果令，則有

此時初始條件和函數單調性共同作用，有如下鏈式反應：

由於是離散值（集合）且有上界（集合元素有上限），因此上述鏈式反應一定會終止，終止時會有

，這即爲方程的一組解。

 

（2）WorkList Algorithm

上述思路對應的算法爲Round-Robin Iterations，即各未知數的迭代次數（or更新次數）保持同步，即算法每次循環結束後都有

，而WorkList Algorithm則不同，其未知數的迭代次數不一定同步，在算法每次循環結束後可能會出現

，這說明針對未知數的值的更新，WorkList Algorithm有一套優先級規則。（其實這兩種更新思路與數值分析中求解線性方程組的Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代有共通之處）

 

先給出WorkList Algorithm的（不規範的）僞代碼：

WorkList()
    for i <- 1 to n do
        y[i] <- { } //初始化隨具體情況而定
    w <- [ y[1] y[2] ... y[n] ] //將未知數放入worklist中
    while(!is_empty(w)) do 
        y[i] <- extract(w) //從worklist以某種方式抽出一個未知數
        old <- y[i] //記錄此未知數的值
        y[i] <- f_i(y[1], y[2], ..., y[n]) //挑出以此未知數作爲因變量的方程，並進行運算，結果賦給此未知數
        if old != y[i] then //如果未知數的值在運算後發生變化
            for y[k] <- dep(y[i]) do 
            //將依賴它的那些未知數放入worklist中，a依賴b的含義是
            //以a爲因變量的方程使用b作爲自變量，因此當b發生變化，a也就可能發生變化
            //故把a放入worklist中
                w <- insert(w, y[k])
        

未完待續