LearnGL - 06.2 - Matrix - 矩陣03

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本人才疏學淺，如有什麼錯誤，望不吝指出。

上些篇：

• LearnGL - 06 - Matrix - 矩陣01，瞭解了矩陣就是定義一個座標空間的軸向
• LearnGL - 06.1 - Matrix - 矩陣02，瞭解了一些矩陣的乘法的維度限制

這一篇：瞭解 行列式(determinant)、逆矩陣(inverse)、伴隨矩陣(adjugate、adjoint)、餘子式(cofactor、minor)、代數餘子式(algebraic cofactor、minor)。

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逆矩陣-inverse matrix

在計算機3D圖形學中，在實現一些特殊功能的時候，特別是一些座標還原，或重構成其他座標時，都可能會用到逆矩陣。

一個變換矩陣可以將我們傳入的向量（組）變換到此變換矩陣中的另一個座標系中，如果我們要撤銷這些變換呢，那麼就需要逆過來變換，這個逆變換的矩陣，就叫：逆矩陣。

我們都知道，標量乘以標量，如：$1 \times n = n$，就是1乘以任意數，等於那個數的本身。

同樣在矩陣中也有類型的，如：$I\cdot M=M$，$I$是單位矩陣（左上角到右下角都是1，其餘都是0的方陣）乘以任意矩陣都等於那個矩陣的本身。

$1 \times n = n$，同是$\frac{1}{n}\cdot n=1$，而這個$\frac{1}{n}$就是n的倒數。

同樣的也有：$M^{-1}\cdot M=M \cdot M^{-1}=I$，而這其中的$M^{-1}$就是$M$的逆矩陣。

在求逆矩陣時，需要用到行列式的功能。

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行列式-determinant

先來講一下，determinant - 矩陣行列式（這裏我覺得中文翻譯的理解不好），爲啥要一個“式”字結尾，感覺會誤導很多人，可以參考這篇文章的講解：行列式determinant到底是個啥？，其實 determinant 就是求一個矩陣的N個軸（N個列向量，N>0，範圍：1,2,…,n）圍起來的空間大小（一維）、面積（二維）、體積（三維）、無法描述的變換空間大小（大於三維），最終的值是一個標量，注意：行列式結果是一個標量，並不是什麼式子、也不是向量。

所以可以理解，它就是表述一個變換的基的包圍空間的大小。

變換：

• 一維中，假設一個2，就是可以把某個東西可以變大2倍的變換數值，它的determinant就是2，長度。
• 二維中，假設$\overrightarrow x(0.5,0) \overrightarrow y(0,2)$，就是可以讓一個存在於二維下的數值對象(a,b)可以讓它在$\overrightarrow x(0.5,0) \overrightarrow y(0,2)$ 的變換後的結果：$\begin{bmatrix} \overrightarrow x & \overrightarrow y\\ |&| \end{bmatrix} \cdot \left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right) \rightarrow \begin{bmatrix} 0.5 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \cdot \left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix}0.5\cdot a\\2\cdot b\end{matrix}\right)$，相當於把a縮小一倍，b放大一倍。它的determinant就是0.5*2=1面積。
• 同理三維中的是體積。

但上面都是比較理想的變換矩陣，就是他們的每列向量之間都是垂直的（正交的）所以求他們圍起來空間，直接向量它們的向量長度就可以了。

但是如果他們不是垂直的（正交的），這個時候就需要將每個軸之間x,y,z分量上有參差的量圍成的空間給減去，才能得到最終的空間。

如上圖，a(a1,a2),b(b1,b2)向量就是不互相垂直的，黃色就是a(a1,a2)與b(b1,b2)向量x,y分量上參差的分量圍起來的面積，着黃色部分的面積就是整個長方形需要減去的面積，最終得到的面積就是a,b向量圍起來的平行四邊形的面積。

也可以從百度百科中的：矩陣行列式的公式：$det\left(\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}\right) =ad-bc$ 來發現一些線索。

如果b,c爲零呢？$det\left(\begin{matrix} a & \color{#ff0000}b \\ \color{#ff0000}c & d \end{matrix}\right) =ad-{\color{#ff0000}bc}\rightarrow det\left(\begin{matrix} a & \color{#ff0000}0 \\ \color{#ff0000}0 & d \end{matrix}\right) =ad-{\color{#ff0000}0}=ad$，那就是向量(a,0)與向量(0,d)垂直了，前者平行於x軸，後者平行於y軸，這時面積就等於ad了，如下圖

所以 行列式就是求變換矩陣的軸包圍的一個空間大小，只不過在這個二維空間單位是面積，三維就是體積了，一維就是長度。

假設有矩陣A：$\begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix}$

det(A)，或是矩陣A的行列式 又或是記作$|A|$，那麼：$det(A)=|A|=ad-bc$

那麼矩陣A的逆矩陣，記作$A^{-1}$，那麼$A^{-1}=\frac{1}{|A|}\cdot\begin{bmatrix}d & -b \\ -c & a\end{bmatrix}=\frac{1}{ad-bc}\cdot\begin{bmatrix}d & -b \\ -c & a\end{bmatrix}$

暫且我們不管這個矩陣$\begin{bmatrix}d & -b \\ -c & a\end{bmatrix}$是怎麼來的，它看起來就像是a與d交換，b,c添加負數了。這個矩陣叫作：伴隨矩陣。後面再詳細的搬運一波內容。

這個是2X2矩陣的逆矩陣，我們可以驗證一下：

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那麼繼續逆矩陣的內容

有一個矩陣A：
$A=\begin{bmatrix}a & b \\ c & d\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}8 & -2 \\ 4 & 6\end{bmatrix}$

A的逆矩陣爲：
$A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\cdot\begin{bmatrix}d & -b \\ -c & a\end{bmatrix}$
$A^{-1}=\frac{1}{8\cdot 6-(-2)\cdot 4}\cdot\begin{bmatrix}6 & -(-2) \\ -4 & 8\end{bmatrix}$
$A^{-1}=\frac{1}{48+8}\cdot\begin{bmatrix}6 & 2 \\ -4 & 8\end{bmatrix}$
$A^{-1}=\frac{1}{56}\cdot\begin{bmatrix}6 & 2 \\ -4 & 8\end{bmatrix}$
$A^{-1}=\begin{bmatrix}6\cdot \frac{1}{56} & 2 \cdot \frac{1}{56} \\ -4 \cdot \frac{1}{56} & 8 \cdot \frac{1}{56}\end{bmatrix}$
$A^{-1}=\begin{bmatrix}\frac{6}{56} & \frac{2}{56} \\ -\frac{4}{56} & \frac{8}{56}\end{bmatrix}$

OK，現在計算得$A^{-1}=\begin{bmatrix}\frac{6}{56} & \frac{2}{56} \\ -\frac{4}{56} & \frac{8}{56}\end{bmatrix}$，然將與$A=\begin{bmatrix}8 & -2 \\ 4 & 6\end{bmatrix}$相乘，結果看看是否等於$I$：

$A^{-1}\cdot A = I$

$\begin{bmatrix}\frac{6}{56} & \frac{2}{56} \\ -\frac{4}{56} & \frac{8}{56}\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}8 & -2 \\ 4 & 6\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}\frac{6 \cdot 8}{56} + \frac{2 \cdot 4}{56} & \frac{6 \cdot (-2)}{56} + \frac{2 \cdot 6}{56} \\ -\frac{4\cdot 8}{56} + \frac{8\cdot 4}{56} & -\frac{4\cdot (-2)}{56} + \frac{8 \cdot 6}{56}\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}\frac{48}{56} + \frac{8}{56} & \frac{-12}{56} + \frac{12}{56} \\ -\frac{32}{56} + \frac{32}{56} & \frac{8}{56} + \frac{48}{56}\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}\frac{56}{56} & 0 \\ 0 & \frac{56}{56}\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}1& 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$

OK，計算完畢。反過來的：$A\cdot A^{-1} = I$也是一樣的。

還有另一箇中計算：Matrix Inverse – 逆矩陣，這種方式可視化是以行向量來分析求解的。

而我們上面使用的是列，建議使用列的方式，更加貼合各種軟件中計算。

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矩陣的逆矩陣不一定存在，由幾種方式可以判斷來，先看看二維的逆矩陣的公式：
$A^{-1}=\frac{1}{|A|}\cdot\begin{bmatrix}d & -b \\ -c & a\end{bmatrix}=\frac{1}{ad-bc}\cdot\begin{bmatrix}d & -b \\ -c & a\end{bmatrix}$

此公式中：$det(A)=|A|=ad-bc$

如果$|A|=0$，那麼這個式子就$A^{-1}$的公式中會有除以$0$而無意義。

因爲$|A|=ad-bc=0$，所以$A^{-1}$矩陣有無意義，會是否存在，取決於$A$矩陣列向量的值。

如果細心觀察，可以看出：$A=\begin{bmatrix}a & b\\c & d\end{bmatrix}$，矩陣$A$的第一列向量是：$\begin{bmatrix}a\\c\end{bmatrix}$，第二列向量是：$\begin{bmatrix}b\\d\end{bmatrix}$，而$|A|=ad-bc$，其實就是：兩列向量的叉乘：$\begin{bmatrix}a\\c\end{bmatrix} \times \begin{bmatrix}b\\d\end{bmatrix}=ad-bc$。

兩個非零向量叉乘的結果爲0的時候就只有這兩個向量是：相同方向，或是相反方向的，即：兩向量共線。

所以如果一個二維變換矩陣的列向量如果向量是共線的，那麼該矩陣就沒有逆矩陣。

而按行列式，或是determinant的理解就是：如果一個二維變換矩陣的行列式爲0，就是變換矩陣的基圍起來的空間大小爲0（這裏的大小至少是面積、體積，或以上），那麼此變換矩陣沒有逆矩陣。

所以在判斷二維矩陣的逆矩陣是否存在，可以根據以下幾種方式：

• 用式子來總結：$A^{-1}=\frac{1}{|A|}\cdot\begin{bmatrix}d & -b \\ -c & a\end{bmatrix}$，當$|A|=0$，則$A^{-1}$無意義，則$A$的逆矩陣$A^{-1}$不存在。
• 而：$|A|=0$，也代表：$ad-bc=0$，也代表：$ad=bc$，也代表：$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，則$A$不存在逆矩陣。
• 而：$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，也可以看成是：$k=\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，類似直線斜率的方式，就像 Matrix Inverse – 逆矩陣 中最後是以$\begin{bmatrix}\color{#ff0000}a & \color{#ff0000}b \\ \color{#00ff00}c & \color{#00ff00}d\end{bmatrix}$中的量行的數值分別當作是直線的斜率：${\color{#ff0000}\frac{a}{b}}={\color{#00ff00}\frac{c}{d}}$，則$A$也不存在逆矩陣。
• 而：$ad=bc$，除了可以推導出：$k=\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，也一樣可以按：$\frac{a}{c}=\frac{c}{b}$來判斷，這樣就是列向量當作直線，並比較它們兩的斜率。

上面的直線斜率的方式，可以以這種方式來看待矩陣，就像是直線方程組，把矩陣的元素當作是方程組中的係數：
$\begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} e\\ f \end{bmatrix}$

它其實就是：
$\begin{bmatrix} a \\ c \end{bmatrix} \cdot x + \begin{bmatrix} b \\ d \end{bmatrix} \cdot y =\begin{bmatrix} e\\ f \end{bmatrix}$

寫成：
$ax + by = e\\ ax + dy = f$

變形以下：
$by = -ax + e\\ dy = -ax + f$
再變形：
$y = -\frac{a}{b}x + \frac{e}{b}\\ y = -\frac{a}{d}x + \frac{f}{d}$

OK，在看看，這個與我們的直線方程的：$y = kx + b$，是否很像？

所以我們可以把：$k：-\frac{ a}{b}=-\frac{a}{d}$，看作是斜率，然後等式兩邊的符號，就成了：$k：\frac{ a}{b}=\frac{a}{d}$

然後是直線的上下位移量：$b：\frac{e}{b}=\frac{f}{d}$，但是直線方程上的$b$不影響行列式，因爲$b$只會影響直線之間是重疊共線還是平行。

所以兩個直線的斜率 $k$ 相等了，就平行或共線了，那麼矩陣的行列式就爲0，那麼也就不存在逆矩陣了。

還可以理解爲直線方程組的各項未知數（元）的係數的話，那麼說明兩直線無x,y的解，此直線方程無根。因爲他們是共線（無窮個交點，無窮個解）或平行（一個交點都沒有，一個解都沒有）了。兩條直線方程有解的話，說明有一個x,y點是兩條直線的交點。

這類$n$階方陣的矩陣如果 不存在 逆矩陣（determinant 或 行列式 爲 0），則稱爲：奇異 矩陣。

矩陣如果 存在 逆矩陣（determinant 或 行列式 不爲 0），則稱爲：非奇異 矩陣。

也可以參考百度百科的：奇異矩陣，奇異矩陣也叫：singular matrix。

最後附上形象一些的圖像：

可以看到，當矩陣中的兩列向量在共線後，四邊形的面積就爲0了（紫色的區域大小爲0），也就是行列式爲0，那麼這樣的矩陣是沒有逆矩陣的。

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伴隨矩陣-adjugate、adjoint matrix

伴隨矩陣英文叫：adjugate matrix，也叫 adjoint matrix。

也可參考百度百科中說明：伴隨矩陣。

早在之前的其他文章中有表述過，數學是需要很高洞察力的學科，需要去觀察它的規律。

然後聰明的人類發明了數學公式符號來表示這些規律，如：斐波那契數列、對數，指數，三角函數，等等，等等，這些都有一些簡潔的公式，這裏就不一一搬磚了，可自行搜索。

而伴隨矩陣也是被這些數學家們發現了它的特性，它的作用，也可以用於計算出逆矩陣而用的。
（這裏我猜測是數學家們先計算出了逆矩陣的方法，可能計算過程太過於繁瑣，然後提煉到最精簡的結果時，發現了這一結果是可以從現有矩陣中的數值來求出來的，但它到底是怎麼被發現的，這一歷史沒有記錄，我也搜索不到，但這些過程是非常有參考意義的，我也驚訝於竟然沒有記錄，如果有記錄的話，會對後人可能有更多的理解，或是更多特性的發現）

下面我引用百度百科中的一句：

如果二維矩陣可逆，那麼它的逆矩陣和它的伴隨矩陣之間只差一個係數，對多維矩陣也存在這個規律。

照搬一下之前的求矩陣$A$的逆矩陣的公式：

$A^{-1}=\frac{1}{|A|}\cdot\begin{bmatrix}d & -b \\ -c & a\end{bmatrix}=\frac{1}{ad-bc}\cdot\begin{bmatrix}d & -b \\ -c & a\end{bmatrix}$

矩陣 $\begin{bmatrix}d & -b \\ -c & a\end{bmatrix}$ 就是伴隨矩陣。

留意上面引用百度百科說的，它（伴隨矩陣）與逆矩陣就差一個係數，這個係數就是：determinant的倒數，即：矩陣行列式的倒數：$\frac{1}{det(A)}=\frac{1}{|A|}$，二維中（或說是二階方陣） 的這個係數就是：$\frac{1}{ad-bc}$。

就像上面所說的，至於這個伴隨矩陣是怎麼得來的，之前我只是簡單的描述的一下：

“矩陣$\begin{bmatrix}d & -b \\ -c & a\end{bmatrix}$是怎麼來的，它看起來就像是a與d交換，b,c添加了負數。”

這是我個人觀察的規律，但其實它是由一段公式計算出來的，只不過二維矩陣的伴隨矩陣比較簡單的規律。

但如果要計算N維（或說N階）矩陣時，還是需要用公式來計算好些，因爲大於二維以上的矩陣的伴隨矩陣的計算複雜度會越來越大。

說是有一個公式可以算出來的，但伴隨矩陣的式子又是怎麼來的，我們也不知道，查找的資料中沒有收錄這方面的信息，它的公式是：

矩陣$A$的伴隨矩陣，記作：$A^*$，它的式子爲：

注意：$A^*$的每項元素做了調整從：$A_{\red行\green列}$位置上的值調整爲：$A_{\green列\red行}$的值（注意下標左邊還是表示 行，右邊的還是表示 列，上面說的只是他們的轉置情況）。可以理解爲 伴隨矩陣 是 處理了 轉置過 的，就是 行和列對調過 的。
$A^*=\begin{bmatrix} A_{\red 1\green 1} & A_{\red 1\green 2} & \cdots & A_{\red 1\green n} \\ A_{\red 2\green 1} & A_{\red 2\green 2} & \cdots & A_{\red 2\green n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{\red n\green 1} & A_{\red n\green 2} & \cdots & A_{\red n\green n} \end{bmatrix}$

這是錯誤的，之前沒有留意到這個下標不一樣，導致我在後續驗算是發現結果不對，-_-!!!：

下面的結果是 轉置後 的，纔是對的：

$A^*=\begin{bmatrix} A_{\green 1\red 1} & A_{\green 2\red 1} & \cdots & A_{\green n\red 1} \\ A_{\green 1\red 2} & A_{\green 2\red 2} & \cdots & A_{\green n\red 2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{\green 1\red n} & A_{\green 2\red n} & \cdots & A_{\green n\red n} \end{bmatrix}$

矩陣中的元素$A_{ij}$是 代數餘子式，下面會講到。

假設有個3x3矩陣$A$：
$A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}$

要求伴隨矩陣，我們又要先了解下面要講到：餘子式：$M_{ij}$。後面再加以詳細的搬磚。

我們要求得矩陣$A$的伴隨矩陣就等於：它的矩陣$A$每一項元素的 代數餘子式。這裏又有一個術語：代數餘子式：$A_{ij}=(-1)^{i+j} \cdot M_{ij}$（如果要我用一個表情，我會用一個：捂臉哭笑的表情）。

餘子式：$M_{ij}$ 與 代數餘子式：$A_{ij}=(-1)^{i+j} \cdot M_{ij}$ 在公式上看的話，後者會多了一個符號的計算：$(-1)^{i+j}$。後面在加以詳細的搬磚。現在先跳過，那麼繼續伴隨矩陣的計算：

所以$A^*$ 中每一項 代數與字數 也等於 帶符號 的 餘子式 ：
$A^*=\begin{bmatrix} A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1} \\ A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} (-1)^{1+1}\cdot M_{11} & (-1)^{2+1}\cdot M_{21} & \cdots & (-1)^{n+1}\cdot M_{n1} \\ (-1)^{1+2}\cdot M_{12} & (-1)^{2+2}\cdot M_{22} & \cdots & (-1)^{n+2}\cdot M_{n2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ (-1)^{1+n}\cdot M_{1n} & (-1)^{2+n}\cdot M_{2n} & \cdots & (-1)^{n+n}\cdot M_{nn} \end{bmatrix}$

在我們這個3x3矩陣$A$例子中就是（注意行列 下標 是 轉置 過的）：
$A^*=\begin{bmatrix} A_{\green 1\red 1} & A_{\green 2\red 1} & A_{\green 3\red 1} \\ A_{\green 1\red 2} & A_{\green 2\red 2} & A_{\green 3\red 2} \\ A_{\green 1\red 3} & A_{\green 2\red 3} & A_{\green 3\red 3} \end{bmatrix}$

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餘子式-Cofactor、Minor

餘子式：英文叫：Cofactor，或：Minor，有輔助因子，或是輔助項，次級項，等意思。

餘子式它的符號記作：$M_{ij}$，$i$和$j$分別是第$i$行和第$j$列的意思，$M_{ij}$代表的就是減去第$i$行和第$j$列後的n-1方陣的行列式。這裏先來個簡述，後面會重複強調意思。

而中文的理解中在於：“餘”字。然後又是令人費解的“式”字。

• 餘字：減去對應的的行與列之後剩餘的所有項，重組的新的n-1方陣。
• 式字：教你理解這個“式”子的方法，你可以把它理解成編程語言中的：表達式。而編程中的表達式最終會有一個值的，所以式就是表達式，就是會得到一個值的式子。（前面說的 行列式 中的“式”字也是可以這麼理解的）

因爲它是從原始n方陣中，減去對應的的第$i$行與第$j$列之後剩餘的所有項，重組的新的n-1方陣的 行列式（注意它是一個餘項組成而成的n-1方陣的行列式（determinant），所以它將會是一個值）：

還是用回上面的個3x3矩陣$A$：

$A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}$

中，假設我要求第2行第1列的餘子式，先分兩步：

• 先得出 餘項，因爲是原來的一部分的項目，所以我們叫：餘子項
• 再根據 餘子項 來求這個 餘子項行列式，所以簡稱 餘子式

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餘子項

第2行第1列的餘子項：

先將要刪除的第2行第1列的所有項的用紅色標出來：
$A=\begin{bmatrix} \color{#ff0000}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ \color{#ff0000}a_{21} & \color{#ff0000}a_{22} & \color{#ff0000}a_{23} \\ \color{#ff0000}a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}$

再將這些項刪除：
$A=\begin{bmatrix} \color{#ff0000}刪除 & a_{12} & a_{13} \\ \color{#ff0000}刪除 & \color{#ff0000}刪除 & \color{#ff0000}刪除 \\ \color{#ff0000}刪除 & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}$

刪除，得到 餘子項：
$B_{21}=\begin{bmatrix} a_{12} & a_{13} \\ a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}$

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餘子式

然後是這個用這個 餘子項 來來計算矩陣$B$ 的 行列式（determinant）：

那麼 餘子式 記作 $M_{ij}$，我們的$i$是2，$j$是1：

$M_{21}=det(B_{21})=\begin{bmatrix} \color{#ff0000}a_{12} & \color{#00aa00}a_{13} \\ \color{#00aa00}a_{32} & \color{#ff0000}a_{33} \end{bmatrix} ={\color{#ff0000}a_{12}\cdot a_{33}} - {\color{#00aa00}a_{13} \cdot a_{32}}$

然後是：其他的$M_{ij}$都可以使用這種方法計算出對應3x3矩陣中的每一項元素的餘子式。

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代數餘子式-Algebraic cofactor、Minor

我們前面說了伴隨矩陣就是每一項的 代數餘子式。

而 餘子式 與 代數餘子式 的區別前面也說過，這裏再重新強調一下：

餘子式：$M_{ij}$ 與 代數餘子式：$A_{ij}=(-1)^{i+j} \cdot M_{ij}$ 在公式上看的話，後者會多了一個符號的計算：$(-1)^{i+j}$。

那第$i=2$，$j=1$的$A_{ij}=A_{21}$：

$A_{21}=(-1)^{2+1} \cdot M_{21}$

$A_{21}=(-1)^{3} \cdot M_{21}$

$A_{21}=-M_{21}$

那麼我們將之前3x3的矩陣$A$的每一項元素的 代數餘子式 計算得出：

（上面的矩陣$A$跑太遠了，這裏再複製過來，方便閱讀）
$A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}$

矩陣$A$的伴隨矩陣$A^*$爲每一項的 代數餘字數 （注意行列 下標 是 轉置 過的）：
$A^*=\begin{bmatrix} A_{\green 1\red 1} & A_{\green 2\red 1} & A_{\green 3\red 1} \\ A_{\green 1\red 2} & A_{\green 2\red 2} & A_{\green 3\red 2} \\ A_{\green 1\red 3} & A_{\green 2\red 3} & A_{\green 3\red 3} \end{bmatrix}$

因爲：$A_{ij}=(-1)^{i+j} \cdot M_{ij}$，所以式子可以調整爲：

$A^*=\begin{bmatrix} (-1)^{1+1}\cdot M_{11} & (-1)^{2+1}\cdot M_{21} & (-1)^{3+1}\cdot M_{31} \\ (-1)^{1+2}\cdot M_{12} & (-1)^{2+2}\cdot M_{22} & (-1)^{3+2}\cdot M_{32} \\ (-1)^{1+3}\cdot M_{13} & (-1)^{2+3}\cdot M_{32} & (-1)^{3+3}\cdot M_{33} \end{bmatrix}$

$A^*=\begin{bmatrix} (-1)^{2}\cdot M_{11} & (-1)^{3}\cdot M_{21} & (-1)^{4}\cdot M_{31} \\ (-1)^{3}\cdot M_{12} & (-1)^{4}\cdot M_{22} & (-1)^{5}\cdot M_{32} \\ (-1)^{4}\cdot M_{13} & (-1)^{5}\cdot M_{23} & (-1)^{6}\cdot M_{33} \end{bmatrix}$

爲了對齊，我把正負號的 代數餘字數 的 + 也標出來，因爲它就是帶符號的 餘子式：
$A^*=\begin{bmatrix} +M_{11} & -M_{21} & +M_{31} \\ -M_{12} & +M_{22} & -M_{32} \\ +M_{13} & -M_{23} & +M_{33} \end{bmatrix}$

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伴隨矩陣-二維的例子

那麼來計算最簡單的二維矩陣，求：二維矩陣的伴隨矩陣。

就用我們前門最簡單的2x2矩陣：$A=\begin{bmatrix}a & b \\ c & d\end{bmatrix}$，它的 伴隨矩陣 是：$A^*=\begin{bmatrix}d & -b \\ -c & a\end{bmatrix}$

下面來看看它的$A^*$是怎麼計算得來的（注意行列 下標 是 轉置 過的）：
$A^*=\begin{bmatrix}A_{11} & A_{21} \\ A_{12} & A_{22}\end{bmatrix}$

那看看$A_{11},A_{12},A_{21},A_{22}$分別都是怎麼計算的：

$M_{11} =\begin{bmatrix}\color{#ff0000}a & \color{#ff0000}b \\ \color{#ff0000}c &{\color{00dd00}d} \end{bmatrix} ,\text{刪除1行1列：} M_{11} =[{\color{00dd00}d}], A_{11}=(-1)^{1+1} \cdot M_{11}=(-1)^{2} \cdot [{\color{00dd00}d}]={\color{00dd00}d}$，所以$\color{#ff0000}A_{11}=d$

$M_{12} =\begin{bmatrix}\color{#ff0000}a & \color{#ff0000}b \\ {\color{00dd00}c} & \color{#ff0000}d\end{bmatrix} ,\text{刪除1行2列：} M_{12} =[{\color{00dd00}c}], A_{12}=(-1)^{1+2} \cdot M_{12}=(-1)^{3} \cdot [{\color{00dd00}c}]=-{\color{00dd00}c}$，所以$\color{#ff0000}A_{12}=-c$

$M_{21} =\begin{bmatrix}\color{#ff0000}a & {\color{00dd00}b} \\ \color{#ff0000}c & \color{#ff0000}d\end{bmatrix} ,\text{刪除2行1列：} M_{21} =[{\color{00dd00}b}], A_{21}=(-1)^{2+1} \cdot M_{21}=(-1)^{3} \cdot [{\color{00dd00}b}]=-{\color{00dd00}b}$，所以$\color{#ff0000}A_{21}=-b$

$M_{22} =\begin{bmatrix}{\color{00dd00}a} & \color{#ff0000}b \\ \color{#ff0000}c & \color{#ff0000}d\end{bmatrix} ,\text{刪除2行2列：} M_{22} =[{\color{00dd00}a}], A_{22}=(-1)^{2+2} \cdot M_{22}=(-1)^{4} \cdot [{\color{00dd00}a}]={\color{00dd00}a}$，所以$\color{#ff0000}A_{22}=a$

OK，現在$A_{11},A_{12},A_{21},A_{22}$都計算好了。

分別代回伴隨矩陣（注意行列 下標 是 轉置 過的）：$A^*=\begin{bmatrix}A_{11} & A_{21} \\ A_{12} & A_{22}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\color{#ff0000}d & \color{#ff0000}-b \\ \color{#ff0000}-c & \color{#ff0000}a\end{bmatrix}$

所以你會看到這個結果就是我之前說的結果。

二維矩陣的伴隨矩陣很簡單，所以直接總結爲之前說的簡單處理：“矩陣$\begin{bmatrix}d & -b \\ -c & a\end{bmatrix}$是怎麼來的，它看起來就像是a與d交換，b,c添加了負數。”

再根據之前描述說的，伴隨矩陣 和 逆矩陣 就差一個 係數值，這個係數值就是 矩陣的行列式的倒數

然後我們使用 矩陣的行列式的倒數 的結果，數乘 上 伴隨矩陣 得到的就是 逆矩陣

矩陣的行列式 . 伴隨矩陣 = 逆矩陣：$A^{-1}=\frac{1}{|A|} \cdot A^*$

如果已知 逆矩陣、矩陣行列式，那麼 伴隨矩陣 ： $A^* = |A| \cdot A^{-1}$

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總結 & 練習

前面說明，逆矩陣$A^{-1}$作用就是將某個向量$\overrightarrow A$ 應用了矩陣$A$變換成的結果$\overrightarrow B$ 的結果再反向變換回矩陣變換前的$\overrightarrow A$：
$A \cdot \overrightarrow A=\overrightarrow B\\ \\ A^{-1} \cdot \overrightarrow B= \overrightarrow A$

這種應用是非常廣泛的，矩陣Unity中大家都應該熟悉的：GameObject 下的 Transform 組件類有 LocationPosition 與 Position：

• LocationPosition 是對象的局部座標
• Position 是世界座標

假設有GameObject A,B,C，他們的父級關係是：A是B的父級，B是C的父級：

A
|
+--->B
	 |
	 +--->C

如果A,B有縮放、旋轉、位移過，這時想在腳本里設置C的世界的標對齊到場景中某個對象D的世界位置對齊。

爲了方便，直接設置某個C的Position等於D的Position即可，僞代碼如下：

GameObject A, B, C, D;

void Start() {
	B.Transform.SetParent(A.Transform);
	C.Transform.SetParent(B.Transform);

	D.Transform.SetParent(.....);
}

void C_Locate_to_D() {
	C.Transform.Position = D.Transform.Position;
}

主要看：C.Transform.Position = D.Transform.Position; 這句即可，它內部處理起始用了逆矩陣來更新LocationPosition，這樣外部用起來就相當方便了。

Transform 類的代碼中，設置 Position 的僞代碼大概如下：

class Transform {
	Matrix4x4 local2worldMatrix; 			// local 局部座標 變換到 world 世界座標的矩陣
	Matrix4x4 world2localnMatrix;			// world 世界座標 變換到 local 矩陣座標的矩陣，它就是location2worldMatrix矩陣的逆矩陣
	
	public Vector3 Position {
		get => position;
		set {
			position = value;
			localPosition= world2localnMatrix.MultiplePoint(position); // 根據 世界座標 反向變換回 局部座標
		}
	}
	
	public Vector3 LocationPosition {
		get => localPosition;
		set { localPosition= value; }
	}

	private Vector3 position;				// 世界座標
	private Vector3 localPosition;			// 矩陣座標
}

這就有點像是上面說過的：

假設有一個 局部座標 到 世界座標 的變換矩陣 $Mat_{lw2}$（lw2==Local To World 的簡寫）：
$Mat_{l2w}=\begin{bmatrix}a & b\\c & d\end{bmatrix}$
然後是 $Mat_{l2w}$ 的逆矩陣 $Mat_{w2l}$（w2l==World To Local），它的作用是 世界座標 到 局部座標 的變換：
$Mat_{w2l}=\frac{1}{ad-bc}\cdot \begin{bmatrix}d & -b\\-c & a\end{bmatrix}$

然後是 局部座標 $Pos_{l}$（l==Local）：
$Pos_{l}=\begin{bmatrix}x_{l}\\y_{l}\end{bmatrix}$

然後是 世界座標 $Pos_{w}$（w==World）：
$Pos_{w}=\begin{bmatrix}x_{w}\\y_{w}\end{bmatrix}$

那麼 將 局部座標 變換到 世界座標：

$Mat_{l2w} \cdot Pos_{l} = Pos_{w}$

$\begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x_{l}\\y_{l} \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} x_{w}\\y_{w} \end{bmatrix}$

那麼 將 世界座標 變換到 局部座標：

$Mat_{w2l} \cdot Pos_{w} = Pos_{l}$

$\frac{1}{ad-bc}\cdot \begin{bmatrix}d & -b\\-c & a\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x_{w}\\y_{w} \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} x_{l}\\y_{l} \end{bmatrix}$

最後的通過設置世界座標的 $Pos_{w}$ 時，我們是已知 $Pos_{w}$ 世界座標點的，和 $Mat_{w2l}$ 都是已知的，求 $Pos_{l}$ 是肯定可以的。

$Mat_{w2l} \cdot Pos_{w} = Pos_{l}$

但最終的終極理解這個變換，你可以這麼理解（可參考 可汗學院 裏的視頻：Matrix world problem: vector combination）：
$Mat_{w2l}$的第一列向量就是$w2l$ 座標系下的 X 軸：$\begin{bmatrix}x_1 \\ y_1\end{bmatrix}$，第二列向量就是 $w2l$ 座標系下的 Y 軸：$\begin{bmatrix}x_2 \\ y_2\end{bmatrix}$，這兩個軸分別縮放 $\begin{bmatrix}x_w\\ y_w\end{bmatrix}$ 後，再相加（兩個軸，或是兩個向量相加），就等於 $\begin{bmatrix}x_l \\ y_l\end{bmatrix}$：
$\begin{bmatrix}x_1 & x_2\\ y_1 & y_2\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}x_w\\y_w\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x_l \\ y_l\end{bmatrix}$

調整爲：
$\begin{bmatrix}x_1 \\ y_1 \end{bmatrix} \cdot x_w + \begin{bmatrix}x_2 \\ y_2 \end{bmatrix} \cdot y_w = \begin{bmatrix}x_l \\ y_l\end{bmatrix}$

調整爲文字+公式：
$W2L的軸_x \cdot x_w + W2L的軸_y \cdot y_w = 局部座標\\ (W2L的軸_x向量,放大,世界座標的x_w倍) + (W2L的軸_y向量,放大,世界座標的y_w倍)= 局部座標$
（但注意這裏的W2L的X,Y軸，可能都是縮放、旋轉過的）

然後我在 可汗學院 的小考的裏題目做測試，帶上鼠標繪製（我的畫板不見了）的過程與提交結果：

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References

• 矩陣行列式(determinant)
• 逆矩陣(inverse)
• 伴隨矩陣(adjugate、adjoint)
• 餘子式(cofactor、minor)
• 代數餘子式(algebraic cofactor、minor)
• 怎樣用Matlab求矩陣的伴隨矩陣
• 高等代數中的餘子式和代數餘子式的區別，書上對代數餘
• 行列式determinant到底是個啥？
• Matrix world problem: vector combination