從歐拉公式看希爾伯特變換

1、定義

希爾伯特變換可看做是一個線性濾波器：




希爾伯特變換將x(t)的正頻譜翻反轉90度，負頻譜正轉90度，0譜線置0，得到x^(t),2次譜線轉到180度位置，四次轉回自身，可見，逆變換加個符號即可。

jx^(t)的正頻率譜線與x(t)相同，負頻率譜線相反，x~(t)=x(t)+jx^(t)正好把x(t)的雙邊譜變成x~(t)的單邊譜。

2、歐拉公式

$e^{j\omega _0t }=cos\ \omega_0t+j sin\ \omega_0t$

$e^{j\omega _0t }$的傅里葉變換爲：2πδ(ω−ω0)
可見歐拉公式是最簡單的希爾伯特變換。

3、希爾伯特變換的意義

首先，將實數信號變換成解析信號的結果就是，把一個一維的信號變成了二維複平面上的信號，複數的模和幅角代表了信號的幅度和相位，參考鏈接: [https://zhuanlan.zhihu.com/p/25250010.]

這樣看來，似乎複數信號纔是完整的，而實信號只是在複平面的實軸上的一個投影。我們知道，解析信號可以計算包絡（瞬時振幅） 和瞬時相位。在上圖中可以看到，實際上我們計算的包絡就是黑色的線圍成的立體圖形的邊界在實部的投影，而計算這個邊的投影也很簡單，就是在複平面上的螺旋線中的每一個點的模值，也就是A(t) = sqrt(x^2(t) + Hilbert(x(t))^2)，而瞬時相位就是虛部（Hilbert變換後的）和實部（原始信號）在某一時間點的比值的arctan，瞬時頻率就是它的導數。
當瞬時頻率和瞬時振幅都是定值，不隨時間變化時，希爾伯特變換就是傅里葉變換。

4、希爾伯特解耦原理

注意，相位計算公式的分子分母寫反了。

很好的參考資料：

希爾伯特變換理論及matlab計算

Hilbert端點效應分析 Gibbs現象

EMD、VMD的一點小思考

個人感悟

希爾伯特變換將信號從實域變換到復域，如同將信號從一維空間映射到二維空間，在二維空間完成特徵信號（瞬態信號）的分離，與機器學習支持向量機算法有異曲同工之妙：將數據從低維空間映射到高維空間，在高維空間中找到超平面，將不同類的數據分開。在低維空間很棘手的問題，在高維空間中可能就小菜一碟，人要是能進入四維空間，將是神一樣的存在。