信號調製產生邊頻的原理及希爾伯特解調

1、定義

調幅、調頻與調相

1.1 調頻

1.2 調幅

u_AM(t)=U_ccos$\omega$_ct+(k_aU$_\Omega$cos$\Omega$t)cos$\omega$_ct
=U_ccos$\omega$_ct+0.5k_aU$_\Omega$cos($\Omega$+$\omega$_c)t+0.5k_aU$_\Omega$cos($\Omega$-$\omega$_c)t

可見，採用單一頻率進行振幅調製時，產生一對邊頻。

2、希爾伯特解調示例

載波爲30Hz的餘弦波，用5Hz 的餘弦波調幅，用10Hz的正弦波調相（其微分即爲調頻：10Hz的餘弦波）

fs=400;
dt = 1/fs;
N = 400;
k = 0:N-1;
t = k*dt;
% 原始信號
f1 = 5;%調幅單頻率
f2 = 10;%調相調頻單頻率
f3= 30;%載波單頻率
a = 1+0.5*cos(2*pi*f1*t);   % 包絡（含調幅調製信號）
b=0.5*sin(2*pi*f2*t);       % 調相，其微分爲調頻
m = cos(2*pi*f3*t);         % 載波
y = a.*cos(2*pi*f3*t+b);    % 調製後的信號
figure
subplot(241)
plot(t, a)
title('包絡（調幅）')
subplot(242)
plot(t, m)
title('載波')
subplot(243)
plot(t, y)
title('調製結果')
% 包絡分析
% 結論：Hilbert變換可以有效提取包絡、調製信號的頻率等
yh = hilbert(y);
aabs = abs(yh);                 % 包絡的絕對值
aangle = unwrap(angle(yh));     % 包絡的相位
af = diff(aangle)/2/pi;         % 包絡的瞬時頻率，差分代替微分計算
% NFFT = 2^nextpow2(N);
NFFT = 2^nextpow2(1024*4);      % 改善柵欄效應
f = fs*linspace(0,1,NFFT);
YH = fft(yh, NFFT)/N;           % Hilbert變換覆信號的頻譜
A = fft(aabs, NFFT)/N;          % 包絡的頻譜
subplot(245)
plot(t, aabs,'r', t, a,'--')
title('包絡的絕對值(瞬時振幅）')
legend('包絡分析結果', '真實包絡')
subplot(246)
plot(t, aangle,'r')
title('瞬時相位')
subplot(247)
plot(t(1:end-1), af*fs,'r')
title('瞬時頻率')
subplot(244)
plot(f,abs(YH))
title('原始信號的Hilbert譜')
xlabel('頻率f (Hz)')
ylabel('|YH(f)|')
subplot(248)
plot(f,abs(A),'r')
title('包絡的頻譜')
xlabel('頻率f (Hz)')
ylabel('|A(f)|')

從原始信號的頻譜圖，可看出：調製造成的邊頻。
從包絡（瞬時振幅圖）及其FFT頻譜可知：調幅信號的幅值及頻率5HZ；
從瞬時頻率圖可知：最大頻偏（最大調頻量）0.5*10HZ，以10HZ的餘弦變化，完全滿足調製的信號。

參考資料：

https://wenku.baidu.com/view/20b6b3ebb9f67c1cfad6195f312b3169a451ea30.html

https://blog.csdn.net/lijil168/article/details/102876890