用蒙特卡羅算法解決蒲豐氏問題計算π值
一.蒲豐投針試驗的雛形:
18世紀法國的博物學家C·蒲豐和他的投針實驗：在一個平面上，用尺畫一組相距爲的平行線；一根長度小於的針，扔到畫了線的平面上；如果針與線相交，則該次扔出被認爲是有利的，否則則是不利的.
蒲豐驚奇地發現:
有利的扔出與不利的扔出兩者次數的比，是一個包含π的表示式．如果針的長度等於，那麼有利扔出的概率爲．扔的次數越多，由此能求出越爲精確的π的值.
公元1901年，意大利數學家拉茲瑞尼作了3408次投針，給出π的值爲3．1415929——準確到小數後6位．不過，不管拉茲瑞尼是否實際上投過針，他的實驗還是受到了美國猶他州奧格登的國立韋伯大學的L·巴傑的質疑．通過幾何、微積分、概率等廣泛的範圍和渠道發現π，這是着實令人驚訝的!
下面就是一個簡單而巧妙的證明：
找一根鐵絲彎成一個圓圈，使其直徑恰恰等於平行線間的距離。可以想象得到，對於這樣的圓圈來說，不管怎麼扔下，都將和平行線有兩個交點。因此，如果圓圈扔下的次數爲n次，那麼相交的交點總數必爲2n。 現在設想把圓圈拉直，變成一條長爲π的鐵絲。顯然，這樣的鐵絲扔下時與平行線相交的情形要比圓圈複雜些，可能有4個交點，3個交點，2個交點，1個交點，甚至於都不相交。由於圓圈和直線的長度同爲π，根據機會均等的原理，當它們投擲次數較多，且相等時，兩者與平行線組交點的總數期望也是一樣的。這就是說，當長爲π的鐵絲扔下n次時，與平行線相交的交點總數應大致爲2n。現在轉而討論鐵絲長爲b的情形。當投擲次數n增大的時候，這種鐵絲跟平行線相交的交點總數m應當與長度b成正比，因而有：m=kb，式中k是比例係數。爲了求出k來，只需注意到，對於b=π的特殊情形，有m=2n。於是求得k=。代入前式就有：m≈ ,從而π≈ (2bn)/ (m)
二. 蒲豐投針試驗的完善與證明:
法國數學家蒲豐（1707-1788）最早設計了投針試驗。並於1777年給出了針與平行線相交的概率的計算公式P=(其中b是針的長度，是平行線間的距離，π是圓周率)。
投針試驗問題:
平面上畫有等距離爲a(a>0)的一些平行直線,現向此平面任意投擲一根長爲b( b<a )的針,試求針與某一平行直線相交的概率.
下面用幾何概型對蒲豐投針試驗進行理論證明：
解答：以表示針投到平面上時，針的中點M到最近的一條平行直線的距離，表示針與該平行直線的夾角，那麼針落在平面上的位置可由完全確定。
投針試驗的所有可能結果與矩形區域
|中所有的點一一對應。
由投擲的任意性可知：
這是一個幾何概型問題.
所關心的事件：
A={針與某一平行直線相交}的
充分必要條件爲S中的點滿足條件：
三.蒲豐投針試驗的重大意義:
像投針實驗一樣，用通過概率實驗所求的概率來估計我們感興趣的一個量，這樣的方法稱爲蒙特卡羅方法（Monte Carlo method）。蒙特卡羅方法是在第二次世界大戰期間隨着計算機的誕生而興起和發展起來的。這種方法在應用物理、原子能、固體物理、化學、生態學、社會學以及經濟行爲等領域中得到廣泛利用。
四.蒲豐投針試驗應用舉例:
由於它與π有關，於是人們想到利用投針試驗來估計圓周率的值。
隨便說出3個正數，以這3個正數爲邊長可以圍成一個鈍角三角形的概率P也與π有關，這個概率爲 .
證明如下：
設這三個正數爲x，y，z，不妨設x≤y≤z，對於每一個確定的z，則必須滿足x+y>z，，容易證明這兩個式子即爲以這3個正數爲邊長可以圍成一個鈍角三角形的充要條件，用線性規劃可知滿足題設的可行域爲直線x+y=z與圓,圍成的弓形，總的可行域爲一個邊長爲z的正方形，則可以圍成一個鈍角三角形的概率P=== .因爲對於每一個z，這個概率都爲 ，因此對於任意的正數x，y，z，有P= ，命題得證.
爲了估算π的值，我們需要通過實驗來估計它的概率，這一過程可交由計算機編程來實現，事實上x+y>z，等價於（x+y-z）﹤0，因此只需檢驗這一個式子是否成立即可。若進行了m次隨機試驗，有n次滿足該式，當m足夠大時，n/m趨近於 ，令=，解得π=，即可估計出π值.
值得注意的是這裏採用的方法：設計一個適當的試驗，它的概率與我們感興趣的一個量（如π）有關，然後利用試驗結果來估計這個量，隨着計算機等現代技術的發展，這一方法已經發展爲具有廣泛應用性的蒙特卡羅方法。