本節爲概率論與數理統計複習筆記的第二節,隨機事件與概率(2),主要包括:加法公式、減法公式、條件概率公式、乘法公式、全概率公式、貝葉斯公式以及兩道例題。
1.常用的求概率公式
1.加法公式
P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB) P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)−P(AB)−P(AC)−P(BC)+P(ABC)
2.減法公式
P(A−B)=P(A)−P(AB)=P(ABˉ)
3.條件概率公式
已知事件A發生的條件下,事件B發生的概率:
P(B∣A)=P(A)P(AB)
引申一下還有:
P(Bˉ∣A)=1−P(B∣A) P(B−C∣A)=P(B∣A)−P(BC∣A)
4.乘法公式
P(AB)=P(A)P(B∣A)=P(B)P(A∣B) P(ABC)=P(A)P(B∣A)P(C∣AB)
5.全概率公式(全集分解公式)
若∪i=1nAi=Ω,AiAj=∅(i=j;i,j=1,...,n),則對任一事件B有B=∪i=1nAiB,P(B)=∑i=1nP(Ai)P(B∣Ai)。
6.貝葉斯公式(逆概公式)
如果∪i=1nAi=Ω,AiAj=∅(i=j;i,j=1,...,n),P(Ai)>0,則對任一事件B,只要P(B)>0,即有P(Aj∣B)=Σi=1nP(Ai)P(B∣Ai)P(Aj)P(B∣Aj)。
2. 兩道例題
eg1.設有兩批數量相同的零件,已知有一批產品全部合格,另一批產品有25%不合格。從兩批產品中任取已知,經檢驗是正品,放回原處,並在原處所在批次再取一隻,試求這隻產品是次品的概率。
解:設事件Hi(i=1,2)爲“第一次從第i批產品中抽取”,事件A爲取正品,則P(H1)=P(H2)=21,P(A∣H1)=1,P(A∣H2)=43。
則有P(A)=P(H1)P(A∣H1)+P(H2)P(A∣H2)=87(全概率公式);
從而(貝葉斯):
P(H1∣A)=P(A)P(H1)P(A∣H1)=74 P(H2∣A)=P(A)P(H2)P(A∣H2)=73(當第一次取正品之後,概率就發生了變化,不是1/2了)
設Ci(i=1,2)表示“第二次從第i批產品中抽取”,則有:
P(Aˉ)=P(C1)P(Aˉ∣C1)+P(C2)P(Aˉ∣C2) =74×0+73×41=283
eg2.設有兩箱零件,第一箱內裝50件,其中10件是一等品;第二箱內裝30件,其中18件是一等品。
求:
(1)先去除的零件是一等品的概率p;
(2)在先取出的是一等品的條件下,後取出的零件仍然是一等品的概率q。
解:記A={從第一箱中取},B1={先取出的是一等品},B2={後取出的是一等品},則有:
P(A)=P(Aˉ)=21,P(B1∣A)=51,P(B1∣Aˉ)=53
P(B1B2∣A)=5010×499,P(B1B2∣Aˉ)=3018×2917
(1)p=P(A)P(B1∣A)+P(Aˉ)P(B1∣Aˉ)=52
(2)P(B1B2)=P(A)P(B1B2∣A)+P(Aˉ)P(B1B2∣Aˉ)=1421276,
則q=P(B2∣B1)=P(B1)P(B1B2)=1421690。
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