藍橋杯省賽訓練營——棧與遞歸

今天博主複習了一下棧與遞歸的知識，做了計蒜客平臺的一章習題。下面貼出來和大家交流分享。如有不正之處，請求指教。

蒜頭君喫桃

題目描述

思路分析

設第i天還剩下g(n)個桃子 那麼第i-1天還剩下g(n-1)個桃子。

根據遞推關係 有：g(n-1) = g(n) - g(n)/2 - 1 所以 g(n) = 2(g(n-1) + 1)

第一天還剩下1個桃子 所以g(1) = 1

那麼可以寫出遞歸函數:

int64_t GetNumber(int n){
	if(n==1) return 1;
	else return 2*(GetNumber(n-1)+1);
}
int main(){
	int n;cin>>n;
	cout<<GetNumber(n)<<endl;
	return 0;
}

斐波那契數列?

題目描述

思路分析

這一題想都不用想 是最簡單的矩陣快速冪模板題。

重點是求出轉移矩陣。

設Matix K = [f(2),f(1)]^T(轉置矩陣) T爲轉移矩陣

那麼T^(n-2)*K = [f(n), f(n-1)]^T

Matix T = {
	a,b,
	1,0
};

所以可以通過快速冪求解

代碼

const int N = 2;
int n,a,b,p;
typedef struct Matix{  //定義N維方陣
	int64_t m[N][N];
}Matix;
Matix temp;//矩陣乘法temp = a*b
Matix Matix_Mutiply(Matix a,Matix b){
	memset(temp.m,0,sizeof(temp.m));
	for(int i=0;i<N;i++){
		for(int j=0;j<N;j++)
			for(int k=0;k<N;k++)
			temp.m[i][j] = (temp.m[i][j] + a.m[i][k]*b.m[k][j]%p)%p;
	}
	return temp;
}
Matix ans,c;//c爲單位陣 ans來代替a
//矩陣快速冪 c = a^n^
Matix Matix_pow(Matix a,int n){
	memset(c.m,0,sizeof(c.m));
	for(int i=0;i<N;i++) c.m[i][i] = 1;
	ans = a;
	while(n){
		if(n&1)  c = Matix_Mutiply(c,ans);
		ans = Matix_Mutiply(ans,ans);
		n = n>>1;
	}
	return c;
}
Matix K = {   //初始的方陣
	1,0,
	1,0
};
int main(){
	cin>>n>>a>>b>>p;
	if(n==1||n==2){  //如果求的是第一項或者第二項
		cout<<1<<endl;
		return 0;
	}
	Matix T = {  //轉移矩陣，也叫變換矩陣T
		a,b,
		1,0
	};
	T = Matix_pow(T,n-2);
	cout<<T.m[0][0]+T.m[0][1]<<endl;//f(n) = 矩陣T的第一行乘以矩陣K的第一列
	return 0;
}

快速冪

題目描述

思路分析

這是整數快速冪的裸題，就不用多說了。

代碼

int64_t fastpow(int64_t x,int64_t n,int64_t p){
	int64_t ans = 1;//賦初值
	if(n==0) return ans;
	while(n){
		if(n&1) ans = (ans*x)%p;//mod
		x = (x*x)%p;//mod
		n = n>>1;
	}
	return ans;
}
int main(){
	int t;cin>>t;
	int64_t x,y,p;
	while(t--){
		cin>>x>>y>>p;
		cout<<fastpow(x,y,p)<<endl;
	}
	return 0;
}

彈簧板

題目描述

思路分析

很顯然，這個最簡單的方法是遞歸，因爲n<=200 不用擔心棧溢出問題。

那麼遞歸怎麼寫呢？

設函數function(int i,int n)表示小球此時在第i個彈簧板上 一共有n個彈簧板的最小移動距離

那麼function(i,n) = min(function(i+a[i],n), function(i+b[i],n)) + 1

而且當i>n的時候 function(i,n) = 0;

int a[205],b[205];
int Getmin(int t,int n){
	if(t>n) return 0;
	return min(Getmin(t+a[t],n),Getmin(t+b[t],n)) + 1;
}

代碼

int a[205],b[205];
int Getmin(int t,int n){
	if(t>n) return 0;
	return min(Getmin(t+a[t],n),Getmin(t+b[t],n)) + 1;
}
int main(){
	int n;cin>>n;

	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>b[i];

	cout<<Getmin(1,n)<<endl;
	return 0;
}

最大公約數

題目描述

思路分析

啥也別說了 默寫gcd()函數、

代碼

int gcm(int a,int b){
	int p = max(a,b);
	int q = min(a,b);
	int temp;
	while(q){
		temp = p%q;
		p = q;
		q = temp;
	}
	return p;
}
int main(){
	int t;cin>>t;
	int x,y;
	while(t--){
		cin>>x>>y;
		cout<<gcm(x,y)<<endl;
	}
	return 0;
}

括號匹配

題目描述

思路分析

這是一道常規的進棧 出棧的題目。難點在於如何對括號進行匹配的保存問題，我採用map的形式保存。

對於一個括號字符串 輸入之後首先判斷他的長度是否爲奇數 如果是奇數 一定不合法匹配

順序掃描這個字符串：

1.如果掃描到是左括號 那麼這個位置的i入棧
2.如果掃描到右括號，左括號序列出棧
2.1如果左括號序列爲空 那麼不合法
2.2出棧一個元素 同時map[i] = j;
3.掃描完畢之後 如果棧非空 那麼不合法
4.只有執行完以上所有條件 這樣的括號字符串才合法 輸出Yes 同時遍歷輸出map

代碼

#include<stack>
#include<map>
string s;//輸入的括號串
int main(){
	stack<int>S;map<int,int>mym;//map表示兩個位置的括號形成匹配
	cin>>s;
	if(s.length()%2!=0){  //如果字符串長度爲奇數 肯定不匹配
		cout<<"No"<<endl;return 0;
	}
	for(int i=0;i<s.length();i++){
		if(s[i] == '(') S.push(i);
		else{
			if(S.empty()) {cout<<"No"<<endl;return 0;} //說明匹配錯誤
			else {
				mym[S.top()+1] = i+1;//字符串下標i是從0開始遍歷的
				S.pop();
			}
		}
	}
	if(!S.empty()){cout<<"No"<<endl;return 0;}
	//接下來的纔是正確的判斷
	cout<<"Yes"<<endl;
	for(map<int,int>::iterator it = mym.begin();it!=mym.end();it++)
		cout<<(it->first)<<" "<<(it->second)<<endl;
	return 0;
}

網頁跳轉

題目描述

樣例輸入：

10
VISIT https://www.jisuanke.com/course/476
VISIT https://www.taobao.com/
BACK
BACK
FORWARD
FORWARD
BACK
VISIT https://www.jisuanke.com/course/429
FORWARD
BACK

樣例輸出

https://www.jisuanke.com/course/476
https://www.taobao.com/
https://www.jisuanke.com/course/476
Ignore
https://www.taobao.com/
Ignore
https://www.jisuanke.com/course/476
https://www.jisuanke.com/course/429
Ignore
https://www.jisuanke.com/course/476

思路分析

博主看到這個題，第一反應是雙棧問題，然後將打開，後退，前進看成是不同的進棧，出棧操作。

這個題的難點在於 對於每一個打開的操作 要清空此時的F棧。

可能大家不知道F棧是什麼定義，下面我寫一下我的解題思路。

思路說明：將進入網頁 回退 前進看成進棧 出棧 問題

1. 定義雙棧 前進棧F 回退棧B 便於理解與操作；
2. 當操作爲進入p時 一定是合法的輸入 此時應該B.push（p） 清空棧F(因爲這是一次新的瀏覽 之前的Forward記錄都被淹沒了) ，同時輸出B.top()；
3. 當操作爲回退時，要先判斷棧B的元素個數是否大於1 如果大於1說明可以回退，如果不大於1說明不能回退
   3.1如果不能回退 直接輸出Ignore
   3.2如果可以回退 B棧的棧頂元素p出棧 B.pop() 同時F.push（p） 輸出B.top()
4. 當操作是前進時 判斷F棧是否爲空 如果爲空說明不能前進 不爲空說明可以前進
   4.1如果不能前進 直接輸出Ignore
   4.2如果可以前進 F棧的棧頂元素p出棧 F.pop()，同時B.push（p） 輸出B.top()

代碼

//思路說明：將進入網頁 回退 前進看成進棧 出棧 問題
//1.定義雙棧 便於理解與操作
//2.當操作爲進入p時 一定是合法的輸入 此時應該B.push(p) 清空棧F(因爲這是一次新的瀏覽 之前的記錄都被淹沒了)同時輸出B.top()；
//3.當操作爲回退時，要先判斷棧B的元素個數是否大於1 如果大於1說明可以回退，如果不大於1說明不能回退
//  3.1如果不能回退 直接輸出Ignore
//  3.2如果可以回退 B棧的棧頂元素p出棧 B.pop() 同時F.push(p) 輸出B.top()
//4.當操作是前進時 判斷F棧是否爲空 如果爲空說明不能前進 不爲空說明可以前進
//  4.1如果不能前進 直接輸出Ignore
//  4.2如果可以前進 F棧的棧頂元素p出棧 F.pop()，同時B.push(p) 輸出B.top()
int main(){
	ios::sync_with_stdio(false);//加快cin cout輸入輸出流
	string p,opt;//opt爲操作碼 p爲棧進行交換的碼
	stack<string>B;stack<string>F;//棧B爲back棧  棧F爲FORWARD棧
	int n;cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>opt;
		if(opt == "VISIT") {
			cin>>s;
			while(!F.empty()) F.pop();//清空F棧
			B.push(s);
			cout<<s<<endl;//打印back棧的棧頂元素
		}else if(opt == "BACK"){
			if(B.size()<=1){
				//說明不能回退
				cout<<"Ignore"<<endl;
			}else{//可以回退的情況下
				p = B.top();B.pop(); //back棧的棧頂元素出棧並進入Forward棧
				F.push(p);
				cout<<B.top()<<endl;//打印back棧的棧頂元素
			}
		}else if(opt == "FORWARD"){
			if(F.empty()){ //不可以前進
				cout<<"Ignore"<<endl;
			}else{ //可以前進的情況下
				 p = F.top();F.pop();//forward棧的棧頂元素出棧進入back棧
				 B.push(p);
				 cout<<B.top()<<endl;//打印back棧的棧頂元素
			}
		}
	}
	return 0;
}