什麼是邏輯迴歸？
Logistic迴歸與多重線性迴歸實際上有很多相同之處，最大的區別就在於它們的因變量不同，其他的基本都差不多。正是因爲如此，這兩種迴歸可以歸於同一個家族，即廣義線性模型（generalizedlinear model）。
這一家族中的模型形式基本上都差不多，不同的就是因變量不同。
- 如果是連續的，就是多重線性迴歸；
- 如果是二項分佈，就是Logistic迴歸；
- 如果是Poisson分佈，就是Poisson迴歸；
- 如果是負二項分佈，就是負二項迴歸。
Logistic迴歸的因變量可以是二分類的，也可以是多分類的，但是二分類的更爲常用，也更加容易解釋。所以實際中最常用的就是二分類的Logistic迴歸。
Logistic迴歸的主要用途：
- 尋找危險因素：尋找某一疾病的危險因素等；
- 預測：根據模型，預測在不同的自變量情況下，發生某病或某種情況的概率有多大；
- 判別：實際上跟預測有些類似，也是根據模型，判斷某人屬於某病或屬於某種情況的概率有多大，也就是看一下這個人有多大的可能性是屬於某病。
Logistic迴歸主要在流行病學中應用較多，比較常用的情形是探索某疾病的危險因素，根據危險因素預測某疾病發生的概率，等等。例如，想探討胃癌發生的危險因素，可以選擇兩組人羣，一組是胃癌組，一組是非胃癌組，兩組人羣肯定有不同的體徵和生活方式等。這裏的因變量就是是否胃癌，即“是”或“否”，自變量就可以包括很多了，例如年齡、性別、飲食習慣、幽門螺桿菌感染等。自變量既可以是連續的，也可以是分類的。
常規步驟
Regression問題的常規步驟爲：
- 尋找h函數（即hypothesis）；
- 構造J函數（損失函數）；
- 想辦法使得J函數最小並求得迴歸參數（θ）
構造預測函數h
Logistic迴歸雖然名字裏帶“迴歸”，但是它實際上是一種分類方法，主要用於兩分類問題（即輸出只有兩種，分別代表兩個類別），所以利用了Logistic函數（或稱爲Sigmoid函數），函數形式爲：
Sigmoid 函數在有個很漂亮的“S”形，如下圖所示（引自維基百科）：
下面左圖是一個線性的決策邊界，右圖是非線性的決策邊界。
對於線性邊界的情況，邊界形式如下：
構造預測函數爲：
函數
構造損失函數J
Cost函數和J函數如下，它們是基於最大似然估計推導得到的。
下面詳細說明推導的過程：
（1）式綜合起來可以寫成：
取似然函數爲：
對數似然函數爲：
最大似然估計就是求使
取最大值時的θ，其實這裏可以使用梯度上升法求解，求得的θ就是要求的最佳參數。但是，在Andrew Ng的課程中將
取爲下式，即：
因爲乘了一個負的係數-1/m，所以取最小值時的θ爲要求的最佳參數。
梯度下降法求的最小值
θ更新過程：
θ更新過程可以寫成：
向量化Vectorization
Vectorization是使用矩陣計算來代替for循環，以簡化計算過程，提高效率。
如上式，Σ(...)是一個求和的過程，顯然需要一個for語句循環m次，所以根本沒有完全的實現vectorization。
下面介紹向量化的過程：
約定訓練數據的矩陣形式如下，x的每一行爲一條訓練樣本，而每一列爲不同的特稱取值：
g(A)的參數A爲一列向量，所以實現g函數時要支持列向量作爲參數，並返回列向量。由上式可知
可由
一次計算求得。
θ更新過程可以改爲：
綜上所述，Vectorization後θ更新的步驟如下：
（1）求
；
（2）求
；
（3）求 
。
正則化Regularization
過擬合問題
對於線性迴歸或邏輯迴歸的損失函數構成的模型，可能會有些權重很大，有些權重很小，導致過擬合（就是過分擬合了訓練數據），使得模型的複雜度提高，泛化能力較差（對未知數據的預測能力）。
下面左圖即爲欠擬合，中圖爲合適的擬合，右圖爲過擬合。
問題的主因
過擬合問題往往源自過多的特徵。
解決方法
1）減少特徵數量（減少特徵會失去一些信息，即使特徵選的很好）
- 可用人工選擇要保留的特徵；
- 模型選擇算法；
2）正則化（特徵較多時比較有效）
- 保留所有特徵，但減少θ的大小
正則化方法
正則化是結構風險最小化策略的實現，是在經驗風險上加一個正則化項或懲罰項。正則化項一般是模型複雜度的單調遞增函數，模型越複雜，正則化項就越大。
從房價預測問題開始，這次採用的是多項式迴歸。左圖是適當擬合，右圖是過擬合。
直觀來看，如果我們想解決這個例子中的過擬合問題，最好能將
的影響消除，也就是讓
。假設我們對
進行懲罰，並且令其很小，一個簡單的辦法就是給原有的Cost函數加上兩個略大懲罰項，例如：
這樣在最小化Cost函數的時候，。
正則項可以取不同的形式，在迴歸問題中取平方損失，就是參數的L2範數，也可以取L1範數。取平方損失時，模型的損失函數變爲：
lambda是正則項係數：
- 如果它的值很大，說明對模型的複雜度懲罰大，對擬合數據的損失懲罰小，這樣它就不會過分擬合數據，在訓練數據上的偏差較大，在未知數據上的方差較小，但是可能出現欠擬合的現象；
- 如果它的值很小，說明比較注重對訓練數據的擬合，在訓練數據上的偏差會小，但是可能會導致過擬合。
正則化後的梯度下降算法θ的更新變爲：
正則化後的線性迴歸的Normal Equation的公式爲：
其他優化算法
- Conjugate gradient method(共軛梯度法)
- Quasi-Newton method(擬牛頓法)
- BFGS method
- L-BFGS(Limited-memory BFGS)
後二者由擬牛頓法引申出來，與梯度下降算法相比，這些算法的優點是：
- 第一，不需要手動的選擇步長；
- 第二，通常比梯度下降算法快；
但是缺點是更復雜。
多類分類問題
對於多類分類問題，可以將其看做成二類分類問題：保留其中的一類，剩下的作爲另一類。
對於每一個類 i 訓練一個邏輯迴歸模型的分類器
，並且預測y = i時的概率；對於一個新的輸入變量x, 分別對每一個類進行預測，取概率最大的那個類作爲分類結果：
