P1939 矩陣加速（距陣快速冪）

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思路： 這個數據範圍，想要硬算是不可能的。所以我們需要用距陣快速冪去加速這個遞推。我們可以構造一個距陣：

然後我們發現，
f[ i ]=f[i-1] * 1+ f[i-2] * 0 + f[i-3] * 1;
f[i-1]=f[i-1] * 1 + f[i-2] * 1 + f[i-3] * 0;
f[i-2]=f[i-1] * 0 + f[i-2] * 1 + f[i-3] * 0;
這樣我們就可以構造出遞推距陣：

構造方法多樣，不唯一

最後上模板就行了。

#include<bits/stdc++.h>
#define endl '\n'
#define null NULL
#define ls p<<1
#define rs p<<1|1
#define fi first
#define se second
#define mp make_pair
#define pb push_back
#define ll long long
#define int long long
#define pii pair<int,int>
#define ull unsigned long long
#define all(x) x.begin(),x.end()
#define IOS ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);
#define ct cerr<<"Time elapsed:"<<1.0*clock()/CLOCKS_PER_SEC<<"s.\n";
char *fs,*ft,buf[1<<20];
#define gc() (fs==ft&&(ft=(fs=buf)+fread(buf,1,1<<20,stdin),fs==ft))?0:*fs++;
inline int read(){int x=0,f=1;char ch=gc();
while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=gc();}
while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=gc();}
return x*f;}
using namespace std;
const int N=1e5+5;
const int inf=0x3f3f3f3f;
const int mod=1e9+7;
const double eps=1e-7;
const double PI=acos(-1);
struct node
{
    int v[4][4];
    int n,m;
};
node mul(node a,node b)
{
    node c;
    c.n=a.n;c.m=b.m;
    for(int i=1;i<=c.n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=c.m;j++)
        {
            c.v[i][j]=0;
            for(int k=1;k<=c.n;k++)
            {
                c.v[i][j]=(c.v[i][j]+a.v[i][k]*b.v[k][j])%mod;
            }
        }
    }
    return c;
}
int qpow(int b)
{
    node res;
    res.n=3;res.m=1;
    res.v[1][1]=res.v[2][1]=res.v[3][1]=1;
    node a;
    a.n=3;a.m=3;
    a.v[1][1]=a.v[1][3]=a.v[2][1]=a.v[3][2]=1;
    a.v[1][2]=a.v[2][2]=a.v[2][3]=a.v[3][1]=a.v[3][3]=0;
    while(b)
    {
        if(b&1)
            res=mul(a,res);
        a=mul(a,a);
        b>>=1;
    }
    return res.v[1][1];
}
signed main()
{
    int t;
    cin>>t;
    while(t--)
    {
        int n;
        cin>>n;
        if(n<=3)
            cout<<1<<endl;
        else
            cout<<qpow(n-3)<<endl;
    }
}