斐波那契數列的遞歸與尾遞歸

引言

之前在lintcode上刷算法入門題，366題是求斐波那契數列，當時就想用遞歸應該很快就ac了，最後遞歸是沒寫錯，但是提交報時間超限了，也就引出了這篇文章——尾遞歸。

測試

先來看一下，常規的斐波那契遞歸寫法，假設第一項爲0，第二項爲1：

public int fibonacci(int n) {
    if(n == 1) {
	    return 0;
    }
    if(n == 2) {
	    return 1;
    }
    return fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2);
}

測試第40項的耗時結果爲：

斐波那契的尾遞歸寫法：

public int lastFibonacci(int n, int ret1, int ret2) {
    if(n == 1) {
	    return ret1;
    }
    return lastFibonacci(n - 1, ret2, ret1 + ret2);
}

測試尾遞歸求第40項的耗時結果爲：

可以看到當求到比較後面的項時，尾遞歸還是要快很多的。

分析總結

下面就來分析下尾遞歸到底快在了哪裏

正常遞歸

對於斐波那契數列的正常遞歸，有點類似於二叉樹的結構，我以f(6)爲例，看下圖

可以看到遞歸計算第6項時，需要重複計算兩次f(4)，三次f(3)，以二叉樹的結構向下延伸，如測試的例子所示，當計算到第40項時，會有36項都需要重複計算，且越往下，重複次數越多，效率也很低下。

尾遞歸

尾遞歸快就快在它不需要重複計算某一項，利用了一種技巧就是每次遞歸調用時，它會把之前已經計算好的結果以參數的形式傳遞過去，同樣以f(6)爲例

n	ret1	ret2
6	0	1
5	1	1
4	1	2
3	2	3
2	3	5
1	5	8

ret1就是第n項的值，ret2就是第n+1項的值。

遞歸求斐波那契時，棧內存佔用以指數形式增長，而尾遞歸則是以線性方式增加，且無需重複計算值。