H.B.Pacejke輪胎模型（魔術公式）

輪胎的非線性特性對汽車的轉向特性及行駛穩定性有非常重要的影響。進行汽車控制研究往往要建立精確的輪胎模型。目前應用比較廣泛的輪胎模型有：

• Fiala輪胎模型
• UA輪胎模型
• 郭孔輝輪胎模型（冪指數公式）
• H.B.Pacejke輪胎模型（魔術公式）

H.B.Pacejke輪胎模型（魔術公式）是一個基於試驗數據的經驗輪胎模型，可以通過對試驗數據擬和而得到。這種試驗通過專用的試驗檯架或試驗車進行。這些試驗設備能夠排除次要因素模擬出特定的輪胎行駛條件，準確地再現輪胎的各種工作情況。用於試驗過程中檢測各類數據的儀器具有很高的精度和靈敏度，並配有功能強大的數據處理系統，從而保證了試驗數據準確可靠。魔術公式輪胎模型對輪胎力學特性的表達式單一，擬合精度高，適用於產品設計、汽車動態模擬以及實驗對比等要求精確描述輪胎力學特性的領域，是目前汽車操縱動力學研究中最爲流行的經驗公式之一。下面基於魔術公式輪胎模型討論車輛輪胎的力學特性。

1輪胎座標系

在輪胎力學的研究中，爲了描述方便，或處於習慣，曾經產生了很多不同的座標系，其中包括用於輪胎力學理論分析的座標系，美國汽車工程師學會提出的用於描述輪胎六分力的 SAE座標系，以及用於車輛系統動力學和多體動力學軟件連接的ISO座標系。魔術公式輪胎模型採用SAE座標系，如圖1所示。

圖1 SAE輪胎座標系

輪胎與路面的接觸區域稱爲輪胎的接地印跡（簡稱接地印跡），在這個區域內，輪胎與路面相互作用，產生使汽車實現各種運動的力。對路面提供的接地印跡內的分佈力，常將其向印跡中心進行簡化，形成一空間力系，稱之爲“輪胎六分力”。

SAE座標系規定：側偏角向右轉彎爲正、向左轉彎爲負，側向力向右轉彎爲正、向左轉彎爲負。根據輪胎座標系，通常將輪胎力學特性分爲平面內（in-plane）特性及平面外（out-of-plane）特性兩類，平面內特性包括輪胎的縱向力、垂直力及滾動阻力矩特性，平面外特性包括輪胎的側向力、回正力矩及翻轉力矩特性。輪胎側偏特性屬於平面外特性。

2 魔術公式模型

魔術公式是由荷蘭Delft理工大學H.B.Pacejke教授等人提出並發展起來的，它是用三角函數的組合公式建立的輪胎的縱向力、側向力和回正力矩的數學模型，因只用一套公式就完整地表達了純工況下輪胎的力特性，故稱爲“魔術公式”。魔術公式的一般表達式爲：
${{F}_{y}}=D\cdot \sin (C\cdot \arctan (B\cdot x-E(B\cdot x-\arctan (B\cdot x))))+{{S}_{v}}\tag{1}$

$Y=y+\Delta{{S}_{v}}\tag{2}$

$x=X+\Delta {{S}_{h}}\tag{3}$

式中：Y 表示側向力、縱向力或回正力矩， X 表示側偏角$\alpha$或滑移率S 。
　
通過實驗可以得到公式中峯值因子、形狀因子、曲率因子和剛度因子等參數。這些參數帶入（1）～（3）式後，可得到縱向力、側向力、回正力矩的不同計算公式。
　
輪胎縱向力的計算公式：　
${{F}_{x}}=D\cdot \sin (C\cdot \arctan (B\cdot x-E(B\cdot x-\arctan (B\cdot x))))+{{S}_{v}}\tag{4}$

式中：
$C={{B}_{0}}$；
$D=({{B}_{1}}\cdot F_{z}^{2}+{{B}_{2}}\cdot {{F}_{z}})$;
$BCD=({{B}_{3}}\cdot F_{z}^{2}+{{B}_{4}}\cdot {{F}_{z}})\cdot {{e}^{(-{{B}_{5}}\cdot {{F}_{z}})}}$
$B=BCD/(C\cdot D)$
${{S}_{h}}={{B}_{9}}\cdot {{F}_{z}}+{{B}_{10}}$
${{S}_{v}}=0$
$x=S+\Delta {{S}_{h}}$
$E={{B}_{6}}\cdot F_{z}^{2}+{{B}_{7}}\cdot {{F}_{z}}+{{B}_{8}}$
輪胎的側向力計算公式：　
${{F}_{y}}=D\cdot \sin (C\cdot \arctan (B\cdot x-E(B\cdot x-\arctan (B\cdot x))))+{{S}_{v}}\tag{5}$

其中：
$C={{A}_{0}}$
$D=({{A}_{1}}\cdot F_{z}^{2}+{{A}_{2}}\cdot {{F}_{z}})$
$BCD={{A}_{3}}\cdot \sin (\arctan ({{F}_{z}}/{{A}_{4}})\cdot 2)\cdot (1-{{A}_{5}}\cdot \left| \gamma \right|)$
$B=BCD/(C\cdot D)$
${{S}_{h}}={{A}_{9}}\cdot {{F}_{z}}+{{A}_{10}}+{{A}_{8}}\cdot \gamma$
$x=a+\Delta {{S}_{h}}$
${{S}_{v}}={{A}_{11}}\cdot {{F}_{z}}\cdot \gamma +{{A}_{12}}\cdot {{F}_{z}}+{{A}_{13}}$
$E={{A}_{6}}\cdot F_{z}^{{}}+{{A}_{7}}$

輪胎回正力矩計算公式爲：　
${{M}_{z}}=D\cdot \sin (C\cdot \arctan (B\cdot x-E(B\cdot x-\arctan (B\cdot x))))+{{S}_{v}}\tag{6}$

其中：
$C={{C}_{0}}$
$D=({{C}_{1}}\cdot F_{z}^{2}+{{C}_{2}}\cdot {{F}_{z}})$
$BCD=({{C}_{3}}\cdot F_{z}^{2}+{{C}_{4}}\cdot {{F}_{z}})\cdot (1-{{C}_{6}}\cdot \left| \gamma \right|\cdot e\cdot (-{{C}_{5}})\cdot {{F}_{z}})$
$B=BCD/(C\cdot D)$
${{S}_{h}}={{C}_{11}}\cdot \gamma +{{C}_{12}}\cdot {{F}_{z}}+{{C}_{13}}$
$x=a+\Delta {{S}_{h}}$
${{S}_{v}}=({{C}_{14}}\cdot F_{z}^{2}+{{C}_{15}}\cdot {{F}_{z}})\cdot \gamma +{{C}_{16}}\cdot {{F}_{z}}+{{C}_{17}}$
$E=({{C}_{7}}\cdot F_{z}^{2}+{{C}_{8}}\cdot {{F}_{z}}+{{C}_{9}})\cdot (1-{{C}_{10}}\cdot \left| \gamma \right|)$

式中：D爲峯值因子，表示曲線的最大值；B 爲剛度因子；E 爲曲線曲率因子，表示曲線最大值附近的形狀；C 爲曲線形狀因子，即曲線是象側向力、縱向力還是回正力矩；${{S}_{h}}$ 爲曲線的水平方向漂移；${{S}_{v}}$爲曲線的垂直方向漂移；$\alpha$爲輪胎側偏角；S 爲縱向滑移率；γ 爲輪胎側傾角，它對曲線零點的水平、垂直漂移和剛度分別進行修正；Fz 爲垂直載荷；Ai、 Bj、Ck 分別爲擬合參數（i =1,…,13 、 j =1,… ,10 、k =1,… ,17 ）。