Coursera - Dan Boneh - Cryptography 1 - Week 1 - discrete probability 學習筆記【2】

承接上一篇文章。

這篇文章主要介紹生日悖論中，概率什麼時候超過$\frac{1}{2}$，以及一個簡單的例子。

記號

$|U|$：表示$U$的大小。 例如$U={00, 01, 10, 11}$，則$|U|=4$。
$\exists$：表示存在的意思。

生日悖論(The birthday paradox)

設$r_1,r_2,...,r_n \in U$，且$r_1,r_2,...,r_n$是獨立同分布（independent identically distributed, i.i.d.）的隨機變量，有如下定理：
定理：當$n=1.2\times|U|^{1/2}$時，有$Pr[\exists i\neq j:r_j=r_j]>\frac{1}{2}.$

對定理的解釋：當變量的個數足夠多的時候（$n=1.2\times|U|^{1/2}$，只要求達到$U$的開根號），就存在下標不同的兩個數$r_i,r_j$，相同的概率超過$\frac{1}{2}$。

生日悖論的例子

令$U=\{0, 1\}^{128}$，那麼從$U$中經過大約$1.2\times 2^{64}$次隨機取樣，樣本中很有可能存在兩個數相同。

預告：下一篇將介紹對稱密碼（Symmetric Ciphers）的定義、一次一密（One Time Pad，OTP）、以及完全保密（perfecy secrecy）。