動態規劃【8】之狀態壓縮DP

狀態壓縮DP將狀態作爲數組的一維，進行動態規劃。

例題：luogu1433 喫奶酪

房間裏放着 $n$ 塊奶酪。一隻小老鼠要把它們都喫掉，問至少要跑多少距離？老鼠一開始在 $(0,0)$ 點處。
輸出要跑的最少距離。
其中$n \leq 15$。

因爲要把所有的奶酪喫完，所以我們要考慮喫的順序，不同的順序對結果有很大的影響。從暴力的角度看，共有$n!$個順序，當$n=15$時，$n!=1307674368000$，顯然會超時。

優化，考慮如下情況：
假設現在已經吃了$3$塊奶酪，要去喫剩下的$n-3$塊。已經喫的$3$塊中只有最後一塊，對剩下的$n-3$塊的按什麼順序喫有影響。如前三塊編號爲$1$，$2$，$3$， 那麼$123$（先喫第$1$塊，再喫第$2$塊，最後喫第$3$塊），$213$對剩下$n-3$塊按什麼順序喫是沒有影響的。也就是說，我們對於已經喫過的奶酪，只關心吃了哪幾塊，和最後一塊吃了哪一塊。由此，可以減少狀態數。

剛剛介紹的也是狀態壓縮的基本思想。現在開始介紹狀態壓縮，設$mask$表示$n$位長度的二進制，第$i$位（從右往左數，$i$從$0$開始）爲$1$時表示吃了第$i$塊奶酪,爲$0$時表示還沒喫第$i$塊奶酪。

如$n=7$,$mask$在二進制表示下爲$0000111$，表示已經吃了第$0$塊,第$1$塊,第$2$塊奶酪，沒有喫第$3$塊,第$4$塊,第$5$塊,第$6$塊奶酪；

如$n=7$,$mask$在二進制表示下爲$1000101$，表示已經吃了第$0$塊,第$2$塊,第$6$塊奶酪，沒有喫第$1$塊,第$3$塊,第$4$塊,第$5$塊奶酪。

那麼DP的狀態$dp[mask][i]$表示在$mask$狀態，最後一塊喫的是$i$下的最小距離和。

輸出吃了所有奶酪，最後一個喫的是$i$下取一個最小值：
$\min\{dp[(1<<n)-1][i]\}, 0\leq i\leq n-1,$其中$(1<<n)-1$二進制下的表示$n$個$1$,即吃了所有奶酪。

轉移式：
$dp[mask][i] = \min\{dp[mask-(1<<i)][j]+dis(i,j)\},$
其中$dis(i,j)$表示下標爲$i$和$j$的距離；$mask$要包含$i$和$j$兩個狀態,即$(mask\&(1<<i))>0$ and $(mask\&(1<<j))>0$.

初始化：
$dp[1<<i][i]=\sqrt{x[i]*x[i]+y[i]*y[i]},0\leq i\leq n-1$;
其餘點爲無窮大。

代碼：

/* ***********************************************
Author        : VFVrPQ
Created Time  : 三  3/ 4 14:21:47 2020
File Name     : luogu1433喫奶酪.cpp
Problem       : 
Description   : 
Solution      : 
Tag           : 
************************************************ */

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <string>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <vector>
#include <queue>
#include <stack>
#include <set>
#include <map>
#include <iomanip>
using namespace std;
#define DEBUG(x) cout<<x<<endl;
const int N = 17;
const int M = 1e9+7;
const int INF = 1e9+7;
const double eps = 1e-8;

int n;
double x[N], y[N];
double dp[1<<N][N];

double dis(double x1, double y1, double x2, double y2){
    return sqrt((x1-x2)*(x1-x2)+(y1-y2)*(y1-y2));
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for (int i=0;i<n;i++){
        scanf("%lf%lf",&x[i],&y[i]);
    }
    //初始化
    int maxmask = 1<<n;
    for (int mask=0;mask<maxmask;mask++){
        for (int i=0;i<n;i++) dp[mask][i] = INF; // 初始化爲極小值
    }
    for (int i=0;i<n;i++) dp[1<<i][i] = dis(0.0,0.0,x[i],y[i]);//走一步的
    for (int mask=0;mask<maxmask;mask++){
        for (int i=0;i<n;i++)if (mask&(1<<i)){
            for (int j=0;j<n;j++)if (mask&(1<<j)){
                if (fabs(dp[mask-(1<<i)][j]-INF)<eps) continue; // 
                dp[mask][i] = min(dp[mask][i], dp[mask-(1<<i)][j] + dis(x[i], y[i], x[j], y[j]));
            }
        }
    }
    double ans = INF;
    for (int i=0;i<n;i++) ans = min(ans, dp[maxmask-1][i]);
    printf("%.2lf\n", ans);
    return 0;
}